Interferencja światła i doświadczenie Younga

Potrzebne wiadomości: Długość fali, faza oraz przybliżenie małych kątów.

Dwa źródła światła, a pomiędzy jasnymi miejscami ciemność

Światło dochodzące z dwóch szczelin nakłada się na ekranie. W jednych miejscach fale wzmacniają się, w innych osłabiają. Ciemne prążki nie wynikają z zasłonięcia tych miejsc przez przeszkodę. Są skutkiem dodawania drgań pola elektrycznego z odpowiednią różnicą faz.

Potrzebujemy spójnych fal: ich różnica faz ma pozostawać stała podczas pomiaru. Oświetlenie obu szczelin tą samą falą monochromatyczną jest sposobem uzyskania tej sytuacji. Dwie zwykłe, niezależne lampki nie dają zazwyczaj stabilnych prążków, bo fazy zmieniają się w czasie. Uśrednienie rozmywa jasne i ciemne miejsca.

W poniższych wzorach porównujemy także zgodnie spolaryzowane fale o jednakowych amplitudach. Sama zgodność częstotliwości nie zapewnia stałej różnicy faz; samo słowo „spójne” nie uzasadnia jeszcze zerowego natężenia każdego minimum przy dowolnych amplitudach i polaryzacjach.

Od dodatkowej drogi do różnicy faz

Pełnej długości fali λ odpowiada zmiana fazy 2π. Jeśli jedna fala przebyła drogę dłuższą o Δr, przy zgodnych fazach początkowych różnica faz na ekranie wynosi \delta=2\pi\Delta r/\lambda. Dodatkowa droga λ, 2λ lub 3λ prowadzi do spotkania zgodnych faz; pół długości fali daje fazy przeciwne.

W uproszczonym obrazie sinusoid drgania E₀cos ωt i E₀cos(ωt + δ) sumują się do 2E_0\cos(\delta/2)\cos(\omega t+\delta/2). Amplituda sumy zależy od cos(δ/2). Natężenie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy, więc przy jednakowych falach otrzymujemy I=4I_1\cos^2(\delta/2), gdzie I₁ jest natężeniem od jednej szczeliny w rozpatrywanym przybliżeniu. W maksimum jest 4I₁, a w minimum zero. Energia nie powstaje z niczego: rozkład przestrzenny ma zarówno wzmocnienia, jak i osłabienia.

Gdzie leżą prążki?

Odległość między szczelinami oznaczamy d, odległość ekranu L, a położenie na ekranie względem środka y. W dalekim polu różnica dróg wynosi w przybliżeniu d sin θ. Maksima spełniają d sin θ = mλ, gdzie m jest liczbą całkowitą; m = 0 oznacza środek. Dla małych kątów sin θ ≈ tan θ ≈ y/L:

y_m\approx\frac{m\lambda L}{d},\qquad\Delta y\approx\frac{\lambda L}{d}.

Minima leżą w połowie drogi między sąsiednimi maksimami w tym przybliżeniu. Warunek jest inny: Δr = (m + 1/2)λ. Odległość jasny–ciemny nie jest więc odstępem dwóch sąsiednich jasnych prążków.

Przykład: wynik w metrach, potem w milimetrach

Dla λ = 600 nm, d = 0,30 mm i L = 2,0 m zapisujemy λ = 6 · 10⁻⁷ m oraz d = 3 · 10⁻⁴ m. Otrzymujemy Δy = 0,004 m = 4 mm. Trzeci jasny prążek znajduje się w y₃ = 12 mm, a jego odpowiednik po drugiej stronie w −12 mm. Odległość tych dwóch prążków to 24 mm.

Sprawdzamy założenie: |y₃|/L = 0,006. Kąt jest mały, więc użyte przybliżenie jest odpowiednie. Podwojenie L podwoiłoby odstęp, a podwojenie d zmniejszyłoby go o połowę. To ważna kontrola: szersze rozstawienie szczelin daje ciaśniejszy wzór na ekranie.

Jak z prążków zrobić pomiar?

Nie trzeba znać długości fali, jeśli znamy d i L. Z równania wyznaczamy λ = Δy d/L. Załóżmy, że dziesięć kolejnych odstępów zajmuje 30 mm, d = 0,20 mm, L = 1,2 m. Jeden odstęp ma 3 mm, a λ = 500 nm. Zwróć uwagę na liczenie: dziesięć odstępów wyznacza jedenaście położeń prążków. Od pierwszego do dziesiątego prążka jest tylko dziewięć odstępów.

Pomiar wielu odstępów ogranicza względny wpływ błędu zaznaczenia dwóch końców. Jeżeli odcinek 30 mm odczytamy z niepewnością 1 mm, względny udział tego odczytu wynosi około 3,3%, zamiast 33% przy pojedynczym odstępie 3 mm z tym samym błędem. Nie usuwa to niepewności d i L ani błędnego ustawienia ekranu. Wyniku nie podajemy z dowolnie wielką liczbą cyfr tylko dlatego, że kalkulator je wyświetla.

Granice prostego modelu

Rzeczywiste szczeliny mają szerokość. Ich pojedyncze obrazy dyfrakcyjne tworzą obwiednię zmieniającą jasność kolejnych prążków. Światło o wielu długościach fali tworzy nakładające się wzory z różnymi odstępami. Nierówne natężenia obu fal dają minima, które nie muszą być idealnie czarne. Zanim zastosujemy wzór, ustalamy, które z tych efektów zadanie pomija.

Co się zmienia, gdy szczeliny nie świecą jednakowo mocno?

Czarne minima wymagają nie tylko przeciwnej fazy, ale też jednakowych amplitud. Rozpatrzmy spójne wiązki o zgodnej polaryzacji, które osobno dawałyby na ekranie I₁ = 4 W/m² oraz I₂ = 1 W/m². Amplituda jest proporcjonalna do pierwiastka z natężenia, więc ich względne amplitudy wynoszą 2 i 1, a nie 4 i 1.

Po dodaniu drgań i uśrednieniu kwadratu pola po czasie otrzymujemy:

I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta=5+4\cos\delta\quad[\mathrm{W/m^2}].

Przy zgodnej fazie amplitudy dodają się: maksimum wynosi (2 + 1)² = 9 W/m². Przy przeciwnej fazie odejmują się: minimum wynosi (2 − 1)² = 1 W/m². Fale znoszą się tylko częściowo; ciemniejszy prążek nie jest całkowicie czarny. Dla równych natężeń I₁ = I₂ wzór wraca do znanej postaci z cos²(δ/2), a minimum rzeczywiście znika.

Kontrast można opisać widocznością V=(I_{\max}-I_{\min})/(I_{\max}+I_{\min})=0{,}8. Jeśli faza zmienia się szybko i losowo podczas pomiaru, średnia z cos δ jest zerowa. Detektor rejestruje wtedy 5 W/m² bez trwałych prążków. Samo podanie dwóch natężeń nie wystarcza więc do stwierdzenia, czy na ekranie będzie 5, 9 czy 1 W/m²: potrzebujemy także informacji o spójności, polaryzacji i fazie. Wartości większe od sumy I₁ + I₂ w jednych miejscach są równoważone mniejszymi w innych, co odpowiada przestrzennemu rozkładowi energii, a nie jej powstawaniu.

Zadania do tego tematu

• Interferencja — zadanie: odstęp prążków i trzeci rząd
• Interferencja — zadanie: pomiar długości fali

Dalsza lektura

Materiał referencyjny