Dyfrakcja — zadanie: szerokość maksimum centralnego

Rozwiązanie

Najpierw zaznacz dwa końce szukanego odcinka

Centralne maksimum rozciąga się od pierwszego minimum po lewej do pierwszego minimum po prawej. Wzór Lλ/a daje odległość środka od jednego z nich. Jeśli zakończymy rachunek w tym miejscu, otrzymamy połowę szukanej szerokości.

Dla pierwszego minimum a sin θ = λ. Małe kąty pozwalają zastąpić sin θ przez y/L. Warunki z treści pozwalają użyć tego przybliżenia, ale po obliczeniu y jeszcze je sprawdzimy. Wybór pojedynczej szczeliny jest ważny: nie nazywamy tych położeń maksimami siatki dyfrakcyjnej.

Rachunek i pełna szerokość

Szerokość szczeliny wynosi a = 1,0 · 10⁻⁴ m. Położenie pierwszego minimum ma wartość y₁ ≈ Lλ/a = 2,0 · 5,0 · 10⁻⁷/(1,0 · 10⁻⁴) = 0,010 m.

Drugie ograniczające minimum leży po przeciwnej stronie, w −0,010 m. Odległość między nimi wynosi 0,020 m.

Odpowiedź: 20 mm.

Stosunek y₁/L = 0,005 jest mały, więc przybliżenie jest spójne z danymi. Wynik 10 mm określałby połowę maksimum centralnego, nie jego pełną szerokość. Zwężenie szczeliny rozszerzyłoby ten jasny obszar, zamiast go zwęzić.

Dłuższa fala

Przy 600 nm długość fali rośnie w stosunku 600/500 = 1,2. Położenia pierwszych minimów wynoszą teraz ±12 mm, a szerokość centralnego maksimum 24 mm. Szerokość rośnie proporcjonalnie do λ, jeśli geometria pozostaje stała.

Warto także odróżnić szerokość plamki od jej jasności. Sam ten rachunek wyznacza położenia minimów; nie mówi, ile mocy emituje źródło ani jaka część tej mocy przejdzie przez szczelinę. Zmiana barwy może w rzeczywistym doświadczeniu zmienić czułość detektora, ale w tym zadaniu nie używamy natężenia do wyznaczania szerokości.

Węższa szczelina, nie węższy obraz

Dla stałych λ i L szerokość maksimum wynosi w ≈ 2Lλ/a. Zmniejszenie a z 0,10 mm do 0,050 mm podwaja w z 20 do 40 mm. Nie zmieniamy tutaj długości fali: wynik 24 mm dotyczył poprzedniego wariantu, a nie tego pytania. Rozkład kątowy się rozszerza; nie wynika z tego wzrost całkowitej mocy światła za szczeliną.

Dwie normalizacje mogą ukryć zmianę jasności

Dotychczas porównywaliśmy szerokości centralnego obrazu, a każdy profil był odniesiony do własnego maksimum. Rozpatrzmy teraz połowę szerokości szczeliny, zachowując to samo równomierne natężenie padającego światła, λ = 500 nm i L = 2 m. Chcemy porównać także bezwzględną zmianę natężenia w środku ekranu.

Na osi wkłady z całej szerokości szczeliny dochodzą zgodnie w fazie. Zmniejszenie a o połowę zmniejsza więc amplitudę dwukrotnie. Natężenie, proporcjonalne do kwadratu amplitudy, maleje do jednej czwartej. Jeśli I₀₀ oznacza maksimum dla a = 0,10 mm, to profil dla a = 0,05 mm ma maksimum I₀₀/4, choć centralny płat jest dwukrotnie szerszy.

W przybliżeniu małych kątów oba profile na wspólnej skali można zapisać następująco, z położeniem y wyrażonym w milimetrach:

\frac{I_a(y)}{I_{00}}=\operatorname{sinc}^2\left(\frac{\pi y}{10}\right),\qquad \frac{I_{a/2}(y)}{I_{00}}=\frac14\operatorname{sinc}^2\left(\frac{\pi y}{20}\right),

gdzie sinc u = sin u/u, a sinc 0 = 1. Pierwsze zera są odpowiednio przy ±10 mm i ±20 mm. Węższa szczelina przepuszcza mniej światła i szerzej rozkłada je na ekranie. W idealnym paraosiowym modelu całka po całym poprzecznym profilu maleje o połowę: czynnik 1/4 w wysokości i czynnik 2 w szerokości dają łącznie 1/2. Jest to zgodne ze zmniejszeniem o połowę mocy przepuszczanej na jednostkę długości jednakowo oświetlonej, długiej szczeliny. Nie wolno wyciągać wniosku o zachowaniu maksimum z dwóch wykresów osobno znormalizowanych do jedynki.

Powiązana teoria

Dyfrakcja na szczelinie i siatka dyfrakcyjna

Dalsza lektura

Materiał referencyjny