Filtr RC górnoprzepustowy: usuwanie składowej stałej i granice różniczkowania

Potrzebne wiadomości: Sinusoida, faza, pochodna i odpowiedź nieobciążonego filtru RC. Do zadań z błędem przybliżenia potrzebne są nierówności i funkcje trygonometryczne.

Wyjście na oporniku zmienia rodzaj filtru

Kondensator jest teraz włączony szeregowo między wejściem a wyjściem, a opornik łączy wyjście ze wspólnym przewodem powrotnym. Napięcie wyjściowe jest napięciem R. Źródło ma zerowy opór wewnętrzny, wyjście nie pobiera dodatkowego prądu, a R i C są idealne oraz dodatnie. Rozpatrujemy stan ustalony każdej sinusoidy o f > 0.

Przy wolnych zmianach kondensator ma dużą wartość reaktancji 1/(ωC). Prąd jest mały, zatem małe jest również napięcie opornika. Przy szybkich zmianach udział impedancji kondensatora w szeregu maleje, a napięcie R zbliża się do napięcia wejścia. Stąd nazwa filtr górnoprzepustowy. Przepuszczanie oznacza tu mniejsze tłumienie względne, nie wzmocnienie amplitudy ponad amplitudę wejścia.

Wyprowadzamy amplitudę i fazę

Przez R i C płynie ten sam prąd. Używając impedancji Z_C = 1/(jωC) oraz konwencji e^jωt, zapisujemy dzielnik napięcia:

H_{GP}(j\omega)=\frac{R}{R+1/(j\omega C)}=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}=\frac{jx}{1+jx},\qquad x=\omega RC.

Licznik ma moduł x i fazę +90°, a mianownik moduł √(1 + x²) i fazę arctan x. Moduły dzielimy, a fazy odejmujemy:

k_{GP}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},\qquad \varphi_{GP}=\frac{\pi}{2}-\arctan x=\arctan\frac1x\quad(x>0).

Dla f = f_g = 1/(2πRC) otrzymujemy k = 1/√2 oraz fazę +45°. Przy f znacznie większej od f_g amplituda prawie się nie zmienia, a faza zbliża się do zera. Przy małej dodatniej częstotliwości amplituda maleje niemal proporcjonalnie do f, a faza zbliża się do +90°.

Składowa stała a granica małych częstotliwości

Po zakończeniu ładowania od stałego napięcia prąd idealnego kondensatora jest zerowy, więc stałe napięcie na R także jest zerowe. Filtr usuwa składową stałą w stanie ustalonym. W chwili włączania źródła odpowiedź przejściowa może jednak być niezerowa. Nie wolno zatem zamienić zdania „stała składowa wyjścia zanika po ustaleniu” w zdanie „na nagłą zmianę napięcia filtr w ogóle nie reaguje”.

Przy f = 0 amplituda składowej wyjściowej jest zerowa, więc jej faza nie jest określona. Wartość +90° to granica fazy dla coraz mniejszych dodatnich częstotliwości. Nie przypisujemy kąta zerowemu wektorowi tylko dlatego, że wzór ma wygodną granicę.

Dlaczego dodatnia faza nie oznacza przewidywania przyszłości?

Dla wejścia U_m cos(ωt) wyjście U_mk cos(ωt + φ) osiąga odpowiadające maksimum wcześniej w obrębie powtarzającego się okresu. Nie oznacza to odpowiedzi przed włączeniem źródła. Stan ustalony opisuje przebieg, który trwał już wcześniej, a kondensator przechowuje informację o dotychczasowym stanie obwodu.

Wynik pełnego problemu początkowego spełnia przyczynowe równanie obwodu. Dodatnie przesunięcie fazowe jednej sinusoidy nie jest ujemnym opóźnieniem dowolnej wiadomości ani sposobem poznania przyszłego sygnału. Przy sygnale złożonym różne częstotliwości zmieniają fazę o różne kąty i nie muszą zachować wspólnego kształtu.

Przybliżenie różniczkujące ma określone pasmo

Jeżeli wszystkie istotne częstotliwości sygnału spełniają x = ωRC ≪ 1, w mianowniku 1 + jx dominuje jedynka. Wtedy H ≈ jωRC. Mnożenie przez jω odpowiada pochodnej czasowej, więc:

u_{wy}(t)\approx RC\frac{du_{we}}{dt}.

Ważne są zarówno warunek małych x, jak i badane pasmo. Krótki impuls albo idealny skok zawiera składowe o dużych częstotliwościach, dla których to przybliżenie zawodzi. Nie można wstawiać dowolnego przebiegu do wzoru różnicznika i zakładać, że rzeczywisty bierny obwód wytworzy dowolnie dużą amplitudę. Dokładny model sinusoidalny ma k < 1.

Dla jednej sinusoidy przybliżenie przewiduje amplitudę xU_we,m i fazę +90°. Dokładna amplituda wynosi xU_we,m/√(1 + x²). Zdefiniujmy względny błąd przybliżonej amplitudy względem dokładnej:

\varepsilon_A=\frac{U_{przybl}-U_{dokl}}{U_{dokl}}=\sqrt{1+x^2}-1,\qquad \delta\varphi=\arctan x.

Mały błąd amplitudy nie gwarantuje równie małego błędu fazy. Dla x = 0,2 amplituda jest zawyżona o około 1,98%, ale faza różni się o około 11,31°. Jeśli aplikacja wymaga prawidłowego kształtu przebiegu, oba warunki trzeba sprawdzić osobno.

Przykład: powolna sinusoida

Niech R = 15 kΩ, C = 100 nF oraz U_we,m = 1,00 V. Iloczyn RC wynosi 1,50 ms, więc f_g ≈ 106,10 Hz. Dla f = f_g/5 mamy x = 0,2. Dokładny stosunek amplitud to 0,2/√1,04 ≈ 0,196116, a faza +78,690°.

Wyjście ma amplitudę około 0,1961 V. Różnicznik przewidziałby 0,2000 V i +90°. Różnica amplitud jest mała, lecz położenie maksimów pozostaje zauważalnie inne. Przy x = 1 przybliżenie dałoby już amplitudę wejścia, podczas gdy poprawny wynik wynosi tylko 0,7071 tej amplitudy.

Każdą składową sygnału liczymy osobno

Równania idealnego obwodu są liniowe. Dla sumy sinusoid obliczamy odpowiedź każdej z nich przy jej własnym x, a następnie dodajemy otrzymane napięcia chwilowe. Nie wolno zastosować jednego współczynnika k do całego sygnału tylko dlatego, że znamy jego największą częstotliwość. Stałą składową rozpatrujemy osobno, po zaniku odpowiedzi przejściowej.

Filtr nie tworzy nowych częstotliwości w tym liniowym modelu. Zmienia istniejące amplitudy i fazy. Przy ocenianiu, czy sygnał po filtracji stał się „lepszy”, trzeba więc wiedzieć, które składowe są użyteczne, a które zakłócające. Wysoka częstotliwość nie jest sama z siebie ani pożądana, ani niepożądana.

Zadania do tego tematu

• Dwa tony i składowa stała na wejściu filtru
• Jak niska musi być częstotliwość przybliżonego różnicznika?
• Wyprzedzenie o sześćdziesiąt stopni a przyczynowość obwodu

Dalsza lektura

Materiał referencyjny