Filtr RC na wykresie Bodego: dobór pasma i tolerancje elementów

Potrzebne wiadomości: Charakterystyka amplitudowa filtru RC, logarytm dziesiętny, procenty i nierówności. Znajomość skali decybelowej w akustyce może pomóc, ale nie jest wymagana.

Co oznacza wartość w decybelach?

Dla stosunku amplitud napięć k = U_wy,m/U_we,m wprowadzamy logarytmiczną charakterystykę amplitudową G. Oba napięcia muszą być tego samego rodzaju; równie dobrze można użyć dwóch wartości skutecznych sinusoid. Zapis ma postać:

G=20\log_{10}k,\qquad k=10^{G/20}.

G podajemy w decybelach, dB. Dla k = 1 otrzymujemy 0 dB, dla k = 0,1 otrzymujemy −20 dB, a dla k = 0,01 otrzymujemy −40 dB. Ujemna wartość G opisuje tłumienie napięcia. Jeśli mówimy o dodatniej wartości tłumienia A, definiujemy A = −G. Wtedy „tłumienie 20 dB” oznacza G = −20 dB. Znak należy ustalić przed rachunkiem.

Dla mocy używa się 10 log₁₀(P₂/P₁). Przy jednakowych rzeczywistych oporach moc jest proporcjonalna do kwadratu napięcia i oba zapisy prowadzą do tej samej wartości dB. Bez warunku jednakowych oporów 20 log stosunku napięć nie jest automatycznie logarytmem stosunku mocy. W naszym idealnym filtrze kondensator nie pobiera średniej mocy czynnej; opisujemy odpowiedź napięciową, a nie jego sprawność.

Dokładna krzywa filtru dolnoprzepustowego

Dla idealnego źródła, nieobciążonego wyjścia na kondensatorze i sinusoidalnego stanu ustalonego k = 1/√(1 + x²), gdzie x = f/f_g. Po podstawieniu do definicji decybeli:

G(f)=-10\log_{10}\left[1+\left(\frac{f}{f_g}\right)^2\right].

Przy f = 0,1 f_g wynik wynosi około −0,0432 dB; przy f = f_g około −3,0103 dB; przy f = 10 f_g około −20,0432 dB. Częstotliwość graniczna nie daje połowy amplitudy. Połowa amplitudy odpowiada 20 log₁₀(1/2) ≈ −6,0206 dB.

Wykres Bodego przedstawia odpowiedź w dB na osi pionowej i częstotliwość na osi logarytmicznej. Równe odległości w poziomie odpowiadają takim samym ilorazom częstotliwości, nie takim samym różnicom. Odcinki 10–100 Hz oraz 100–1000 Hz mają tę samą długość: każdy jest jedną dekadą.

Spadek o 20 dB na dekadę jest asymptotą

Dla x ≫ 1 pomijamy jedynkę w porównaniu z x². Otrzymujemy G ≈ −20 log₁₀x. Dziesięciokrotne zwiększenie f zmniejsza wtedy G o około 20 dB, czyli zmniejsza amplitudę około dziesięciokrotnie. Dwukrotne zwiększenie częstotliwości odpowiada spadkowi około 6,0206 dB.

To nachylenie graniczne, a nie idealnie prosty wykres w całym zakresie. Od f_g do 10 f_g zmiana dokładnej odpowiedzi wynosi około −17,033 dB. Narysowanie ostrego załamania i odczytanie z niego 0 dB przy f_g daje użyteczny szkic, ale nie poprawną wartość w punkcie granicznym.

Od wymaganej amplitudy do częstotliwości granicznej

Załóżmy, że przy częstotliwości zakłócenia f_s stosunek amplitud ma być nie większy niż a, gdzie 0 < a < 1. Ponieważ wszystkie wielkości są dodatnie, możemy kolejno odwrócić nierówność i podnieść obie strony do kwadratu:

\frac{1}{\sqrt{1+(f_s/f_g)^2}}\le a\quad\Longrightarrow\quad f_g\le\frac{f_s}{\sqrt{a^{-2}-1}}.

To ograniczenie górne: obniżenie f_g silniej tłumi zakłócenie. Może jednak osłabić także użyteczny sygnał. Jeśli przy f_p wymagamy zachowania co najmniej części p amplitudy, otrzymujemy ograniczenie dolne:

k(f_p)\ge p\quad\Longrightarrow\quad f_g\ge\frac{f_p}{\sqrt{p^{-2}-1}}.

Oba warunki trzeba spełnić jednocześnie. Gdy dolna granica jest większa od górnej, żaden dobór dodatnich R i C nie wystarczy w tym jednosekcyjnym modelu. Sama zmiana wielkości elementów przesuwa krzywą po osi częstotliwości, ale nie zwiększa jej stromości.

Przykład niemożliwego doboru

Chcemy zachować co najmniej 90% amplitudy przy 100 Hz i najwyżej 20% przy 1000 Hz. Pierwszy warunek daje f_g ≥ 100/√(1/0,9² − 1) Hz ≈ 206,47 Hz. Drugi daje f_g ≤ 1000/√24 Hz ≈ 204,12 Hz. Przedziały się nie przecinają.

Nie należy wybierać 205 Hz i nazywać tego spełnieniem obu warunków: taki kompromis narusza oba. Można zmienić wymagania albo zastosować inną strukturę filtru, której charakterystykę trzeba obliczyć od nowa. Dołożenie drugiego biernego stopnia bez analizy obciążenia nie daje automatycznie iloczynu dwóch niezależnych odpowiedzi.

Nominalna wartość R i C nie jest jedyną możliwą

Niech R = R₀(1 + δ_R) oraz C = C₀(1 + δ_C), a f_g0 = 1/(2πR₀C₀). Dokładna częstotliwość wynosi:

f_g=\frac{f_{g0}}{(1+\delta_R)(1+\delta_C)}.

Jeśli podane tolerancje to niezależnie dopuszczalne granice ±r i ±c, najmniejsza f_g występuje dla największych R i C, a największa dla najmniejszych. Nie przypisujemy tym granicom rozkładu prawdopodobieństwa. Przy wymaganiu gwarantowanym sprawdzamy dopuszczalne skrajne kombinacje:

f_{g,min}=\frac{f_{g0}}{(1+r)(1+c)},\qquad f_{g,max}=\frac{f_{g0}}{(1-r)(1-c)}.

Dla dwóch tolerancji ±5% nie otrzymujemy dokładnie symetrycznego zakresu ±10% częstotliwości. Dolny mnożnik to 1/1,1025 ≈ 0,9070, a górny 1/0,9025 ≈ 1,1080. Liniowy wzór Δf/f ≈ −ΔR/R − ΔC/C jest przybliżeniem dla małych zmian; przy sprawdzaniu konkretnej granicy lepiej użyć dokładnych iloczynów.

Który koniec tolerancji sprawdzamy?

Przy stałej dodatniej częstotliwości stosunek amplitud filtru dolnoprzepustowego rośnie wraz z f_g. Dlatego najgorsze tłumienie zakłócenia otrzymujemy dla f_g,max, a największą stratę użytecznego sygnału dla f_g,min. Dobry wynik nominalny nie jest dowodem spełnienia wymagań przez wszystkie dopuszczalne elementy.

Opisane tolerancje dotyczą wartości R i C w przyjętym modelu. Nie obejmują niepodanych zmian temperatury, obciążenia ani impedancji źródła. W zadaniach rozdzielamy te efekty, aby było jasne, który warunek właśnie sprawdzamy.

Zadania do tego tematu

• Czy tłumienie 20 decybeli wymaga stukrotnego zmniejszenia napięcia?
• Jeden filtr, dwa wymagania i dopuszczalna częstotliwość graniczna
• Nominalny filtr przechodzi sprawdzenie, lecz tolerancje zmieniają wynik

Dalsza lektura

Materiał referencyjny