Jak niska musi być częstotliwość przybliżonego różnicznika?
Filtr górnoprzepustowy ma RC = 0,200 ms. Chcemy zastępować jego dokładną odpowiedź wzorem uwy ≈ RC duwe/dt. Dla pojedynczej sinusoidy wymagamy błędu amplitudy nie większego niż 1% względem wartości dokładnej oraz błędu fazy nie większego niż 5°. Wyznacz największą dopuszczalną częstotliwość. Następnie sprawdź amplitudę dokładną dla wejścia 3,00 V i f = 60 Hz. Przyjmij nieobciążone idealne elementy i stan ustalony.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Przybliżenie ma amplitudę xU i fazę +90°. Dokładnie: k = x/√(1 + x²), φ = 90° − arctan x. Wyprowadź osobną granicę x z każdego warunku.
Rozwiązanie
1. Warunek amplitudy
Przybliżenie zawyża amplitudę. Błąd względem odpowiedzi dokładnej jest równy √(1 + x²) − 1. Wymagamy:
\sqrt{1+x^2}-1\le0{,}01\quad\Longrightarrow\quad x\le\sqrt{1{,}01^2-1}\approx0{,}141774.
Wartość 0,01 jest ułamkiem, a nie liczbą 1. Kwadratujemy nierówność dopiero po przeniesieniu jedynki na prawą stronę; obie strony są wtedy dodatnie.
2. Warunek fazy jest ostrzejszy
Błąd fazy wynosi arctan x. Ponieważ funkcja rośnie dla x > 0, wymaganie najwyżej 5° daje x ≤ tan 5° ≈ 0,087489. Ten warunek jest silniejszy od ograniczenia amplitudy, więc to on ustala pasmo.
f_{max}=\frac{\tan5^\circ}{2\pi RC}=\frac{0{,}087489}{2\pi\cdot0{,}000200\,\mathrm{s}}\approx69{,}62\,\mathrm{Hz}.
3. Sprawdzenie przy 60 Hz
W tym przypadku x = 2π · 60 · 0,000200 ≈ 0,075398. Amplituda różnicznika byłaby równa 3x V ≈ 0,226195 V, natomiast odpowiedź dokładna to:
U_{wy,m}=3{,}00\,\mathrm{V}\frac{0{,}075398}{\sqrt{1+0{,}075398^2}}\approx0{,}22555\,\mathrm{V}.
Względne zawyżenie amplitudy wynosi około 0,28384%, a dokładna faza +85,688°. Błąd fazy to około 4,312°, więc oba wymagania są spełnione. Gdybyśmy sprawdzili tylko amplitudę, dopuścilibyśmy wyższe częstotliwości z błędem fazy przekraczającym założone 5°.
Wynik: fmax ≈ 69,62 Hz; przy 60 Hz amplituda dokładna ≈ 0,22555 V. Kryterium dotyczy pojedynczej sinusoidy albo wszystkich istotnych składowych widma, a nie dowolnego skoku napięcia.
Powiązana teoria
Filtr RC górnoprzepustowy: usuwanie składowej stałej i granice różniczkowania
Dalsza lektura
Które składowe przechodzą?
Najpierw przewiduj: Przejdź od f/f₀ = 0,01 do 100. W którym zakresie amplituda wyjściowa jest proporcjonalna do częstotliwości?
R₁ = 10 kΩ i C₁ = 0,1 µF dają RC = 0,001 s oraz f₀ ≈ 159,155 Hz. Przy tej częstotliwości pojedynczy nieobciążony filtr ma |H| ≈ 0,707; kaskada jednakowych stopni bez bufora ma |H| = 1/3.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
Wykres przedstawia amplitudę napięcia, dlatego G_{\rm dB}=20\log_{10}|H|. f₀ = 1/(2πR₁C₁) jest częstotliwością odniesienia pojedynczego nieobciążonego stopnia. W układzie obciążonym lub w kaskadzie nie musi być częstotliwością graniczną całego układu. Amplituda wejścia wynosi 5 V, a nie 5 V wartości skutecznej.
Obciążenie RL jest równoległe do kondensatora wyjściowego. Zmniejsza wzmocnienie stałoprądowe do RL/(R₁ + RL). W kaskadach R₂ = kR₁ oraz C₂ = C₁/k, więc oba izolowane stopnie mają tę samą stałą RC. Bez bufora człon R₁C₂ pozostaje w mianowniku transmitancji i obniża amplitudę względem kaskady buforowanej.
Porównujemy sinusoidy w stanie ustalonym. Faza nie jest prędkością przesyłania informacji; wyprzedzenie fazowe w filtrze górnoprzepustowym nie oznacza reakcji na przyszłe zdarzenie. Pomijamy pasożytnicze elementy i tolerancje. Suwak czasu pokazuje t/T sinusoidy; odtwarzanie jest celowo spowolnione do jednego okresu na dwie sekundy.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto