Wyprzedzenie o sześćdziesiąt stopni a przyczynowość obwodu
W stanie ustalonym nieobciążony filtr górnoprzepustowy zmniejsza amplitudę sinusoidy 50,0 Hz z 1,20 V do 0,600 V. Opornik ma 10,0 kΩ, a źródło jest idealne. Oblicz pojemność i fazę wyjścia. O ile wcześniej w okresie występuje odpowiadające maksimum wyjścia? Oceń stwierdzenie: „Wyjście zna napięcie, które generator wytworzy za tę chwilę”.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Rozwiąż k² = x²/(1 + x²) dla k = 1/2 i dodatniego x. Dodatnia faza odpowiada wcześniejszemu maksimum powtarzającej się sinusoidy.
Rozwiązanie
1. Stosunek amplitud określa x
Mamy k = 0,600/1,20 = 1/2. Po podniesieniu do kwadratu:
\frac14=\frac{x^2}{1+x^2}\quad\Longrightarrow\quad1+x^2=4x^2\quad\Longrightarrow\quad x=\frac1{\sqrt3}.
Wybieramy dodatni pierwiastek, bo ω, R i C są dodatnie. Graniczna częstotliwość wynosi fg = f/x = 50√3 Hz ≈ 86,603 Hz.
2. Pojemność i faza
C=\frac{1}{2\pi fR\sqrt3}\approx183{,}78\,\mathrm{nF},\qquad RC\approx1{,}83776\,\mathrm{ms}.
Faza jest równa 90° − arctan(1/√3) = 90° − 30° = +60°. Zatem dla wejścia 1,20 V cos(2π · 50 Hz · t) wyjście ma postać 0,600 V cos(2π · 50 Hz · t + π/3).
3. Co oznacza wcześniejsze maksimum?
Okres to T = 1/50 s = 20,0 ms. Kąt 60° stanowi jedną szóstą pełnego obrotu, więc odpowiadające maksimum wyjścia występuje o T/6 ≈ 3,333 ms wcześniej w okresie. Mówimy o odpowiednich maksimach ciągłego przebiegu okresowego; każda sinusoida ma nieskończenie wiele maksimów, więc bez tego zastrzeżenia różnica chwil nie jest jednoznaczna.
Obwód nie odczytuje przyszłości. Kondensator ma stan wynikający z wcześniejszego działania źródła, a odpowiedź ustalona trwa wraz z nim. Nagłe rozpoczęcie albo zmiana sygnału wymaga uwzględnienia odpowiedzi przejściowej. Przesunięcie fazy tej jednej sinusoidy nie opisuje czasu dotarcia dowolnej nowej informacji.
Wynik: C ≈ 183,78 nF; φ = +60°; wyprzedzenie odpowiadającego maksimum ≈ 3,333 ms. Wniosek o znajomości przyszłego napięcia jest błędny.
Powiązana teoria
Filtr RC górnoprzepustowy: usuwanie składowej stałej i granice różniczkowania
Dalsza lektura
Które składowe przechodzą?
Najpierw przewiduj: Przejdź od f/f₀ = 0,01 do 100. W którym zakresie amplituda wyjściowa jest proporcjonalna do częstotliwości?
R₁ = 10 kΩ i C₁ = 0,1 µF dają RC = 0,001 s oraz f₀ ≈ 159,155 Hz. Przy tej częstotliwości pojedynczy nieobciążony filtr ma |H| ≈ 0,707; kaskada jednakowych stopni bez bufora ma |H| = 1/3.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
Wykres przedstawia amplitudę napięcia, dlatego G_{\rm dB}=20\log_{10}|H|. f₀ = 1/(2πR₁C₁) jest częstotliwością odniesienia pojedynczego nieobciążonego stopnia. W układzie obciążonym lub w kaskadzie nie musi być częstotliwością graniczną całego układu. Amplituda wejścia wynosi 5 V, a nie 5 V wartości skutecznej.
Obciążenie RL jest równoległe do kondensatora wyjściowego. Zmniejsza wzmocnienie stałoprądowe do RL/(R₁ + RL). W kaskadach R₂ = kR₁ oraz C₂ = C₁/k, więc oba izolowane stopnie mają tę samą stałą RC. Bez bufora człon R₁C₂ pozostaje w mianowniku transmitancji i obniża amplitudę względem kaskady buforowanej.
Porównujemy sinusoidy w stanie ustalonym. Faza nie jest prędkością przesyłania informacji; wyprzedzenie fazowe w filtrze górnoprzepustowym nie oznacza reakcji na przyszłe zdarzenie. Pomijamy pasożytnicze elementy i tolerancje. Suwak czasu pokazuje t/T sinusoidy; odtwarzanie jest celowo spowolnione do jednego okresu na dwie sekundy.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto