Dwa tony i składowa stała na wejściu filtru
Idealny, nieobciążony filtr górnoprzepustowy ma fg = 100 Hz. Po zaniku odpowiedzi przejściowej jego wejście ma postać uwe(t) = 2,00 V + 0,500 V cos(2π · 10 Hz · t) + 0,200 V cos(2π · 1000 Hz · t). Wyznacz składową stałą, amplitudy i fazy obu sinusoid na wyjściu. Porównaj stosunek amplitudy tonu 1000 Hz do amplitudy tonu 10 Hz przed i po filtracji.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Zastosuj zasadę superpozycji. Dla każdego tonu x = f/fg ma inną wartość. Stałe napięcie na R znika po ustaleniu stanu.
Rozwiązanie
1. Rozdzielamy trzy składowe
Składowa stała 2,00 V nie powoduje ustalonego prądu przez kondensator. Na wyjściowym oporniku jej napięcie wynosi zatem 0 V. Pozostają dwa tony; nie zastępujemy ich jedną „średnią częstotliwością”.
2. Obliczamy osobno oba tony
Dla 10 Hz mamy x = 0,1. Dla 1000 Hz mamy x = 10. Współczynniki oraz amplitudy wynoszą:
U_{10,m}=0{,}500\,\mathrm{V}\frac{0{,}1}{\sqrt{1{,}01}}\approx0{,}04975\,\mathrm{V},\qquad U_{1000,m}=0{,}200\,\mathrm{V}\frac{10}{\sqrt{101}}\approx0{,}19901\,\mathrm{V}.
Fazy to φ10 = 90° − arctan(0,1) ≈ +84,289° oraz φ1000 = 90° − arctan(10) ≈ +5,711°. Wyjście jest sumą tych dwóch sinusoid z obliczonymi amplitudami i dodatnimi przesunięciami, bez stałego składnika.
3. Oceniamy zmianę proporcji
Przed filtracją stosunek amplitud wynosił 0,200/0,500 = 0,4. Ponieważ √101 = 10√1,01, po filtracji otrzymujemy dokładnie:
\frac{U_{1000,m}}{U_{10,m}}=0{,}4\frac{10/\sqrt{101}}{0{,}1/\sqrt{1{,}01}}=4.
Ton wyższy stał się dziesięć razy silniejszy względem tonu niższego. Jego własna amplituda nie wzrosła: zmalała z 0,200 V do około 0,199 V. Filtr poprawił względną przewagę tej składowej przez znacznie silniejsze osłabienie drugiej. Amplitud dwóch różnych częstotliwości nie dodajemy automatycznie, aby ogłosić amplitudę jednej sinusoidy wyjściowej.
Wynik: składowa stała 0 V; amplitudy 49,75 mV i 199,01 mV; fazy +84,289° i +5,711°; stosunek amplitud rośnie z 0,4 do 4.
Powiązana teoria
Filtr RC górnoprzepustowy: usuwanie składowej stałej i granice różniczkowania
Dalsza lektura
Które składowe przechodzą?
Najpierw przewiduj: Przejdź od f/f₀ = 0,01 do 100. W którym zakresie amplituda wyjściowa jest proporcjonalna do częstotliwości?
R₁ = 10 kΩ i C₁ = 0,1 µF dają RC = 0,001 s oraz f₀ ≈ 159,155 Hz. Przy tej częstotliwości pojedynczy nieobciążony filtr ma |H| ≈ 0,707; kaskada jednakowych stopni bez bufora ma |H| = 1/3.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
Wykres przedstawia amplitudę napięcia, dlatego G_{\rm dB}=20\log_{10}|H|. f₀ = 1/(2πR₁C₁) jest częstotliwością odniesienia pojedynczego nieobciążonego stopnia. W układzie obciążonym lub w kaskadzie nie musi być częstotliwością graniczną całego układu. Amplituda wejścia wynosi 5 V, a nie 5 V wartości skutecznej.
Obciążenie RL jest równoległe do kondensatora wyjściowego. Zmniejsza wzmocnienie stałoprądowe do RL/(R₁ + RL). W kaskadach R₂ = kR₁ oraz C₂ = C₁/k, więc oba izolowane stopnie mają tę samą stałą RC. Bez bufora człon R₁C₂ pozostaje w mianowniku transmitancji i obniża amplitudę względem kaskady buforowanej.
Porównujemy sinusoidy w stanie ustalonym. Faza nie jest prędkością przesyłania informacji; wyprzedzenie fazowe w filtrze górnoprzepustowym nie oznacza reakcji na przyszłe zdarzenie. Pomijamy pasożytnicze elementy i tolerancje. Suwak czasu pokazuje t/T sinusoidy; odtwarzanie jest celowo spowolnione do jednego okresu na dwie sekundy.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto