Prasa hydrauliczna — zadanie: podano średnice, nie pola

Rozwiązanie

1. Przechodzimy od średnicy do pola

Dla koła pole wynosi πd²/4. W ilorazie pól stałe się skracają, a stosunek średnic 10/2 = 5 trzeba podnieść do kwadratu:

\frac{S_2}{S_1}=\left(\frac{10}{2}\right)^2=25.

To nie prasa o przełożeniu 5. Dwukrotnie większy wymiar liniowy daje czterokrotne pole, a pięciokrotny — dwudziestopięciokrotne. Rysunek przekrojów pozwala zobaczyć, skąd bierze się kwadrat.

2. Wyznaczamy wejściową siłę i drogę

F_1=\frac{2500}{25}=100\ \mathrm{N},\qquad x_1=25\cdot8\ \mathrm{mm}=200\ \mathrm{mm}=20\ \mathrm{cm}.

Odpowiedź: trzeba naciskać siłą 100 N i przesunąć mały tłok o 20 cm. Mniejsza siła wymaga większej drogi. Bez tej drugiej części opis sugerowałby pozorną możliwość uzyskiwania pracy za darmo.

3. Kontrola pracy

Na wejściu mamy 100 · 0,20 = 20 J. Na wyjściu 2500 · 0,008 = 20 J. Przeliczenie 8 mm na 0,008 m jest konieczne. Wynik 2500 · 8 nie miałby jednostki J, tylko N·mm.

4. Projekt przełożenia 100

Stosunek średnic musi być pierwiastkiem ze stosunku pól: √100 = 10. Mały tłok ma 2 cm, więc duży potrzebuje średnicy 20 cm. Dla skoku wyjściowego 8 mm mały tłok musi przebyć 100 · 8 mm = 800 mm = 80 cm.

Nowy projekt: duża średnica 20 cm i droga wejściowa 80 cm. Przy tym samym obciążeniu 2500 N wystarczyłoby 25 N, lecz 25 · 0,80 nadal daje 20 J. Zysk siły nie usuwa ograniczenia dostępnego skoku. W praktyce układy z pompką i zaworami pozwalają dostarczać objętość wieloma ruchami; nie zmienia to zasady bilansu energii.

Jak porównywać oba projekty na jednym rysunku?

Mały tłok pozostaje ten sam. Powiększenie dużej średnicy z 10 do 20 cm podwaja wymiar liniowy, ale czterokrotnie powiększa pole: przełożenie rośnie z 25 do 100. Dla tego samego podniesienia o 8 mm droga wejściowa też rośnie czterokrotnie, z 20 do 80 cm. Siła wejściowa przy obciążeniu 2500 N maleje czterokrotnie, ze 100 do 25 N. Iloczyn tych dwóch zmian wynosi jeden, dlatego praca nadal jest równa 20 J. Tę zgodność można sprawdzić jeszcze przed przeliczaniem milimetrów.

Powiązana teoria

Prawo Pascala. Prasa zwiększa siłę, ale nie energię

Dalsza lektura

Materiał referencyjny