Napięcie powierzchniowe: błona, kropla i kapilara

Potrzebne wiadomości: Siła, ciśnienie, energia powierzchni oraz prosta geometria.

Siła i koszt zwiększenia powierzchni

W prostym modelu napięcie powierzchniowe γ ma jednostkę N/m, równoważną J/m². Dla pojedynczej powierzchni siła na prostym brzegu długości l może mieć wartość γl. Błona mydlana ma dwie powierzchnie, więc ciągnie ruchomy drut siłą F=2\gamma l. Przy powolnym zwiększaniu pola jednej strony o ΔA praca wynosi W=2\gamma\Delta A, jeśli γ pozostaje stałe.

Zakrzywiona powierzchnia wymaga różnicy ciśnień. Dla kulistej kropli z jedną granicą ciecz–gaz \Delta p=2\gamma/r. Dla cienkiej kulistej bańki mydlanej z dwiema powierzchniami otrzymujemy w przybliżeniu \Delta p=4\gamma/r. Mniejszy promień oznacza większą różnicę ciśnień.

Dlaczego N/m jest jednocześnie J/m²?

Ruchomy bok ramki ma długość l. Gdy przesuniemy go o małe Δx, pole jednej strony błony wzrośnie o lΔx. Obie strony dają 2 lΔx. Przy stałym γ energia powierzchniowa zwiększa się o 2γlΔx. W powolnym procesie bez strat praca zewnętrznej siły FΔx musi być jej równa. Dzieląc przez Δx, otrzymujemy F = 2γl.

Jednostki pasują: N/m pomnożone przez m² daje N·m, czyli J. γ nie jest ciśnieniem. Ciśnienie ma jednostkę N/m² i opisuje siłę na pole, a napięcie powierzchniowe wiąże siłę z długością brzegu. W różnych geometriach przechodzimy od jednego opisu do drugiego przez bilans sił lub energii.

Wyprowadzenie różnicy ciśnień dla kropli

Kulista kropla ma objętość 4πr³/3 i powierzchnię 4πr². Przy niewielkim wzroście promienia dr zmiany wynoszą dV = 4πr²dr oraz dA = 8πrdr. Praca nadciśnienia Δp dV równoważy koszt γdA. Stąd:

\Delta p\,4\pi r^2dr=\gamma\,8\pi r\,dr,\qquad \Delta p=\frac{2\gamma}{r}.

Przy cienkiej bańce zwiększamy dwie powierzchnie o niemal tym samym promieniu, więc prawa strona ma dodatkowy czynnik 2. Dostajemy 4γ/r. Grubość błony musi być mała wobec promienia, a ciężar nie może silnie odkształcać przyjętej kuli.

Przy γ = 0,030 N/m i r = 0,020 m wyniki wynoszą 3 Pa dla kropli oraz 6 Pa dla bańki. Zmniejszenie promienia o połowę daje dwa razy większe nadciśnienie. Chodzi o różnicę p_wew − p_zew, nie całe ciśnienie wewnątrz. Niewielka liczba paskali nie oznacza więc niemal próżni w bańce.

Kapilara

W cienkiej pionowej rurce składowa siły powierzchniowej może równoważyć ciężar podniesionej cieczy. Pomijając szczegóły menisku, h=2\gamma\cos\theta/(\rho gr), gdzie θ jest kątem zwilżania mierzonym wewnątrz cieczy między styczną do powierzchni cieczy a ścianką, a r promieniem wewnętrznym. Przy zwilżaniu h jest dodatnie; przy kącie większym od 90° model przewiduje obniżenie poziomu.

Współczynnik zależy m.in. od temperatury i składu cieczy. Nie mieszamy wartości dla czystej wody i roztworu mydła. Czynnika dwóch nie dodajemy z pamięci: uzasadniamy go liczbą powierzchni w rozpatrywanym układzie.

Kapilara: obwód kontra pole przekroju

Na brzegu o długości 2πr składowa siły powierzchniowej skierowana pionowo ma wartość 2πrγ cos θ. Podniesiona kolumna o wysokości h ma w przybliżeniu objętość πr²h i ciężar ρπr²hg. Równowaga daje:

2\pi r\gamma\cos\theta=\rho\pi r^2hg,\qquad h=\frac{2\gamma\cos\theta}{\rho gr}.

Czynnik 2 tym razem pochodzi z obwodu koła, nie z dwóch powierzchni błony mydlanej. To ważna różnica, mimo podobnego wyglądu wzorów. Dla θ = 60° wysokość będzie połową wyniku dla pełnego zwilżania. Dla θ > 90° cosinus jest ujemny: poziom w rurce jest niżej niż na zewnątrz.

Co trzeba ustalić przed użyciem wzoru?

Czy opisujemy kroplę, bańkę, czy otwartą błonę? Czy podano promień, czy średnicę? Jaki jest kąt zwilżania i gdzie go mierzono? Czy γ dotyczy tej samej cieczy i temperatury? Taka kolejność pozwala uniknąć mechanicznego dopisywania dwójki. W bardzo cienkich rurkach rzeczywisty kształt menisku i zanieczyszczenia mogą mieć znaczenie; model kolumny pomija szczegóły jej zakrzywionego końca.

Druga droga do wzoru: przekrój półkuli

Wyobraźmy sobie równowagę jednej połowy kulistej kropli. Różnica ciśnień działa na rzut kołowego przekroju o polu πr². Napięcie powierzchniowe ciągnie po obwodzie 2πr. W równowadze Δp·πr² = γ·2πr, skąd ponownie Δp = 2γ/r. Dla cienkiej bańki dwa obwody jej dwóch powierzchni dają 4γ/r. Nie mnożymy ciśnienia przez całe pole sfery, bo wektory nacisku mają różne kierunki.

Większa kropla może więc mieć mniejsze nadciśnienie, a równocześnie większą energię powierzchniową γ·4πr². Przy podwojeniu promienia nadciśnienie maleje dwukrotnie, lecz pole i energia rosną czterokrotnie. Ciśnienie opisuje pracę przypadającą na mały przyrost objętości, a nie całą energię powierzchni.

Zadania do tego tematu

• Ruchomy drucik na błonie o dwóch powierzchniach
• Wzniesienie cieczy w dobrze zwilżanej kapilarze
• Kropla i bańka o tym samym promieniu
• Praca potrzebna do powiększenia błony mydlanej

Dalsza lektura

Materiał referencyjny