Kropla i bańka o tym samym promieniu

Rozwiązanie

1. Dwa różne układy powierzchni

Kropla ma jedną kulistą granicę ciecz–gaz, więc Δp = 2γ/r. Cienka bańka ma dwie powierzchnie o prawie jednakowych promieniach, więc Δp ≈ 4γ/r. Nie zmieniamy γ, bo zadanie celowo nakazuje tę samą wartość.

2. Pierwotny promień

Dla 0,020 m otrzymujemy 2 · 0,030/0,020 = 3 Pa oraz 4 · 0,030/0,020 = 6 Pa. Odpowiedź: kropla 3 Pa, cienka bańka 6 Pa nadciśnienia. Znak jest dodatni: wnętrze ma większe ciśnienie.

3. Połowa promienia

r maleje dwukrotnie, więc każda różnica rośnie dwukrotnie. Dla 0,010 m kropla ma 6 Pa, a bańka 12 Pa. Mały promień nie oznacza małego nadciśnienia — zależność jest odwrotna.

4. Dodajemy otoczenie

Przy zewnętrznym 100 000 Pa pierwotna kropla ma wewnątrz 100 003 Pa, a bańka 100 006 Pa. Nie mają ciśnień bezwzględnych 3 i 6 Pa. Tak małe nadciśnienia nie są sprzeczne z dużym całkowitym naciskiem: niemal równe ciśnienia działają po obu stronach. Model zakłada kulisty kształt i pomijalny ciężar oraz grubość błony.

Ta sama różnica ciśnień nie wymaga tego samego promienia

W dodatkowym porównaniu chcemy, aby bańka miała takie samo nadciśnienie jak pierwotna kropla 2 cm. Z 4γ/r_b = 2γ/r_k wynika r_b = 2r_k, czyli 4 cm. Bańka jest większa, mimo że ma dodatkową powierzchnię; obie zmiany się kompensują i wynik wynosi 3 Pa.

Energia powierzchniowa nie jest wtedy równa: przy tym samym γ stosunek wynosi 2·(r_b/r_k)² = 8. Podwójna liczba powierzchni i czterokrotne pole każdej strony dają łącznie ośmiokrotną energię. Porównanie pozostaje w modelu kulistych powierzchni bez wpływu ciężaru; nie opisuje kształtu dużej swobodnej kropli w ziemskiej grawitacji.

Powiązana teoria

Napięcie powierzchniowe: błona, kropla i kapilara

Dalsza lektura

Materiał referencyjny