Gęstość — zadanie: kamień w menzurce

Rozwiązanie

1. Ustalamy, co mierzy menzurka

Początkowe 40 cm³ to objętość wody. Do naczynia nie dolaliśmy wody; jej poziom podniósł się, ponieważ kamień zajmuje część miejsca. W zadaniu pomijamy rozpuszczanie, nasiąkanie i pęcherzyki, więc różnica odczytów odpowiada całej objętości kamienia:

V=100\ \mathrm{cm^3}-40\ \mathrm{cm^3}=60\ \mathrm{cm^3}.

2. Liczymy gęstość i sprawdzamy jednostki

Do tej objętości dobieramy masę tego samego kamienia, czyli 156 g. Masa początkowej wody nie jest potrzebna:

\rho=\frac{156\ \mathrm{g}}{60\ \mathrm{cm^3}}=2{,}6\ \mathrm{g/cm^3}.

W SI mamy m = 0,156 kg oraz V = 0,000060 m³. Dzielenie 0,156 przez 0,000060 daje 2600. To również wynik pomnożenia 2,6 przez 1000, zgodnie z przelicznikiem g/cm³ na kg/m³.

Odpowiedź: 2,6 g/cm³, czyli 2600 kg/m³.

Kontrola w drugą stronę: 2,6 g/cm³ · 60 cm³ = 156 g. Użycie końcowych 100 cm³ dałoby 1,56 g/cm³, ale przypisałoby kamieniowi także początkową objętość wody. Wzór na gęstość byłby zapisany poprawnie; błędny byłby wybór wielkości do podstawienia.

3. Wykres zamiast kolejnego podstawienia

Na osi poziomej umieszczamy objętość w cm³, na pionowej masę w g. Zaznaczamy trzy podane punkty. Leżą na prostej, której przedłużenie przechodzi przez początek układu. Zwiększeniu objętości o 20 cm³ odpowiada zwiększenie masy o 52 g.

\frac{\Delta m}{\Delta V}=\frac{104-52}{40-20}=2{,}6\ \mathrm{g/cm^3}.

Nachylenie opisane z jednostkami jest gęstością. Nie oceniamy go samym kątem kreski, bo ten zmieni się po innym rozciągnięciu osi. Dane są zgodne z modelem stałej gęstości: większa próbka jest cięższa, ale nie gęstsza. Same trzy punkty nie ustalają składu chemicznego kamienia.

Wykres do dodatkowej części zadania. Dane są modelowe; prosta przedstawia zależność m = ρV, a nie przebieg jakiegoś ruchu. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

4. Pęcherzyk zmienia objętość, nie masę kamienia

W osobnej wadliwej próbie różnica odczytów wyniesie 60 + 5 = 65 cm³. Licznik nie zmieni się, a mianownik wzrośnie. Jeszcze przed rachunkiem wiemy więc, że wynik będzie za mały:

\rho_{\mathrm{bledna}}=\frac{156}{65}=2{,}4\ \mathrm{g/cm^3}.

Wadliwy pomiar da 2,4 g/cm³ zamiast 2,6 g/cm³. Nie znaczy to, że materiał kamienia zmienił gęstość. To skutek doliczenia powietrza do objętości przy pominięciu jego masy. Trzeba poprawić warunki pomiaru, a nie zaokrąglić wynik do oczekiwanej liczby.

Jak duży jest wpływ pęcherzyka?

Różnica 2,6−2,4=0,2 g/cm³ to błąd bezwzględny wyniku. W odniesieniu do poprawnej gęstości wynosi 0,2/2,6≈0,0769, czyli około 7,7%. Pęcherzyk zwiększył odczytaną objętość o 5/60≈8,3%. Procenty nie są identyczne, bo objętość występuje w mianowniku. Dokładny iloraz wyników to ρ_błędna/ρ=60/65≈0,9231. Wykres dla stałej masy 156 g pozwala zobaczyć kierunek błędu i jego nieliniową zależność od doliczonej objętości.

Powiązana teoria

Gęstość i ciśnienie. Dlaczego samo podanie siły nie wystarcza?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny