Ciśnienie — zadanie: pojemnik na dwóch podstawach

Rozwiązanie

1. Najpierw siła, nie samo 8 kg

Kilogram jest jednostką masy, nie siły. Pojemnik spoczywa na poziomym podłożu, a inne pionowe siły pomijamy. Siła podłoża równoważy ciężar pojemnika. Pojemnik naciska na podłoże siłą o tej samej wartości:

F_\perp=mg=8\ \mathrm{kg}\cdot10\ \mathrm{N/kg}=80\ \mathrm{N}.

Nie podstawiamy do licznika liczby 8 z jednostką kg. Zmiana podstawy nie usuwa części masy, więc również w drugim ustawieniu otrzymujemy 80 N.

2. Pole trzeba przeliczyć w dwóch wymiarach

Jeden centymetr kwadratowy to 0,0001 m². Otrzymujemy S₁ = 200 · 0,0001 = 0,020 m² oraz S₂ = 500 · 0,0001 = 0,050 m². Dopiero użycie niutonów i metrów kwadratowych da paskale:

p_1=\frac{80}{0{,}020}=4000\ \mathrm{Pa},\qquad p_2=\frac{80}{0{,}050}=1600\ \mathrm{Pa}.

Odpowiedź: 4000 Pa na mniejszej podstawie i 1600 Pa na większej.

Sprawdzenie proporcji: 500/200 = 2,5. Większe pole daje 2,5 razy mniejsze ciśnienie, a rzeczywiście 4000/1600 = 2,5. Ponadto p₁S₁ = 4000 · 0,020 = 80 N i p₂S₂ = 1600 · 0,050 = 80 N. Oba wyniki odtwarzają ten sam nacisk.

3. Projektujemy pole zamiast wybierać wzór po danych

Ustawienie na 200 cm² przekracza granicę 2000 Pa. Ustawienie na 500 cm² jej nie przekracza. Aby znaleźć najmniejsze dopuszczalne pole, rozpatrujemy przypadek graniczny p = 2000 Pa. Z pS = F otrzymujemy:

S_{\min}=\frac{F}{p_{\max}}=\frac{80\ \mathrm{N}}{2000\ \mathrm{Pa}}=0{,}040\ \mathrm{m^2}=400\ \mathrm{cm^2}.

Potrzeba co najmniej 400 cm²; z podanych ustawień wybieramy 500 cm². Większe pole jeszcze zmniejszy średnie ciśnienie. Mniejsze je zwiększy, dlatego wynik jest dolną, a nie górną granicą pola. W rzeczywistej podporze trzeba dodatkowo znać rozkład nacisku, własności podłoża i stateczność; samo to obliczenie ich nie sprawdza.

4. Dlaczego 0,4 nie jest liczbą paskali?

Dzielenie 80 N przez 200 cm² rzeczywiście daje 0,4, ale z jednostką N/cm². W metrze kwadratowym jest 10 000 centymetrów kwadratowych, więc:

1\ \mathrm{N/cm^2}=10000\ \mathrm{Pa},\qquad 0{,}4\ \mathrm{N/cm^2}=4000\ \mathrm{Pa}.

Błąd nie polegał na samym dzieleniu. Polegał na zmianie podpisu jednostki bez zmiany wartości liczbowej. Uważne dopisywanie jednostek do kolejnych działań pozwala wykryć go wcześniej niż kontrola końcowego wyniku.

Sprawdzenie całego zakresu, a nie dwóch ustawień

Można potraktować pole S jako zmienną. Dla stałych 80 N ciśnienie p(S)=80/S jest krzywą malejącą, nie prostą. Podwojenie pola zmniejsza wynik do połowy, ale powiększenie pola o tę samą liczbę cm² nie daje za każdym razem takiego samego spadku ciśnienia. Pozioma granica 2000 Pa przecina wykres przy 400 cm². Cała część wykresu na prawo od tego punktu spełnia warunek zadania; po lewej ciśnienie jest zbyt duże. To graficzne uzasadnienie znaku nierówności S≥400 cm².

Powiązana teoria

Gęstość i ciśnienie. Dlaczego samo podanie siły nie wystarcza?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny