Pole grawitacyjne: natężenie, potencjał i wybrane zero energii

Potrzebne wiadomości: Prawo grawitacji, praca i energia potencjalna.

Siła przypadająca na kilogram

Dla masy punktowej lub na zewnątrz sferycznie symetrycznej planety g(r)=GM/r^2. Wektor pola jest skierowany ku środkowi. Jednostki N/kg i m/s² są równoważne. Odległość r mierzymy od środka, nie od powierzchni. Na powierzchni r=R, na wysokości h: r=R+h.

Energia odniesiona do nieskończoności

Wybierając zero energii potencjalnej w nieskończoności, otrzymujemy E_p=-GMm/r i potencjał \varphi=-GM/r. Potencjał ma jednostkę J/kg. Przeniesienie ciała dalej zwiększa jego energię: staje się ona mniej ujemna. Praca samej grawitacji to minus zmiana Eₚ.

Dla wzrostu r z R do 2R natężenie maleje czterokrotnie, ale wartość bezwzględna potencjału tylko dwukrotnie. Nie są to wielkości proporcjonalne do tej samej potęgi r. Gdy h jest małe względem R, rozwinięcie różnicy potencjałów daje \Delta E_p\approx mgh z g na powierzchni.

W układzie wielu mas dodajemy wektory natężeń i skalary potencjałów. Zerowe pole w punkcie nie musi oznaczać zerowego potencjału. Wnętrze planety wymaga znajomości rozkładu masy; wzoru GM/r² z całą masą M nie wolno przedłużać bezpośrednio do środka.

Dwa pytania o tę samą grawitację

Możemy zapytać, jaką siłę odczuje małe ciało w danym miejscu. Możemy też zapytać, ile pracy potrzeba, aby przenieść je między dwoma miejscami bez zmiany energii kinetycznej. Pierwsze pytanie prowadzi do natężenia pola, drugie do potencjału. Mają wspólne źródło, lecz nie są zamiennymi nazwami. Natężenie ma kierunek i zwrot, potencjał jest liczbą zależną od wybranego poziomu odniesienia.

Dla punktowej masy M albo na zewnątrz sferycznie symetrycznego ciała, g=GM/r², skierowane do środka źródła. Odległość r liczymy od środka, a nie od powierzchni. Siła na próbne m ma wartość mg, więc przyspieszenie nie zależy od masy próbnej, gdy pomijamy jej wpływ na źródło. Jednostki natężenia N/kg i m/s² są równoważne, ale pojęcie pola pozwala opisać miejsce jeszcze przed wstawieniem tam konkretnego ciała.

Przykład: większa planeta nie zawsze oznacza większe g

Planeta B ma cztery razy większą masę od A i dwa razy większy promień. Na powierzchni stosunek pól wynosi 4/2²=1. Większa masa wzmacnia pole, większa odległość od środka je osłabia. Gdyby promienie były równe, wynik wyniósłby 4; gdyby masy były równe,1/4. Porównanie przez iloraz pomaga oddzielić te dwa wpływy i nie wymaga znajomości wartości G.

Nie używamy tu modelu jednorodnego pola z powierzchni Ziemi na dowolnej wysokości. Przy h małym względem promienia planety zmiana g może być mała i przybliżenie stałego g jest praktyczne. Przy podwojeniu odległości od środka spadek do jednej czwartej jest już istotny. Wtedy również energia mgh z jednym stałym g nie opisuje dokładnie całego przemieszczenia.

Potencjał i wybór zera

Przyjmując zero energii w nieskończoności, mamy E_p=−GMm/r oraz φ=E_p/m=−GM/r. Wartość ujemna nie znaczy „ujemnej ilości substancji”. Informuje, że trzeba dostarczyć energię, aby z danego miejsca powoli oddalić ciało do nieskończoności. Do potencjału można dodać wspólną stałą bez zmiany sił. Fizycznie mierzalne w tym modelu są różnice energii i wynikające z nich prace.

W kierunku radialnym g_r=−dφ/dr=−GM/r². Pochodna dodatnio rosnącego z r potencjału daje po minusie siłę do środka. Dla osób bez rachunku różniczkowego wystarczy mały krok: przy ruchu na zewnątrz energia potencjalna rośnie, więc przyciągająca siła wykonuje pracę ujemną. Należy pilnować znaku zamiast utożsamiać „większą odległość” z „mniejszą energią” tylko dlatego, że maleje wartość 1/r.

Przykład: przeniesienie między dwoma promieniami

Przy GM=4·10¹⁴ m³/s² i m=2 kg energia na r₁=10⁷ m wynosi −8·10⁷ J. Na r₂=2·10⁷ m wynosi −4·10⁷ J. Druga liczba jest większa: ΔE_p=+4·10⁷ J. Praca grawitacji to −4·10⁷ J. Powoli podnoszący mechanizm musiałby dostarczyć +4·10⁷ J, jeżeli końcowa i początkowa energia kinetyczna są jednakowe. W swobodnym locie energia kinetyczna zmalałaby o tę wartość, o ile ciało miało jej początkowo dostatecznie dużo.

Jednostka GM/r to m²/s², czyli J/kg. Po pomnożeniu przez m otrzymujemy dżule. Tak sprawdzamy, czy nie zgubiono masy próbnej albo jednego r w mianowniku. Pole i potencjał różnią się właśnie m.in. potęgą odległości: pomyłka może pozostać niewidoczna w samych znakach, lecz ujawni się w jednostkach.

Dwa źródła i ważna pułapka

W połowie odległości między dwiema jednakowymi masami M, odległymi o 2a, wektory pól znoszą się. Potencjały dodają się jako liczby: φ=−GM/a−GM/a=−2GM/a. Zerowa siła nie wymusza zerowej energii potencjalnej. Sprawdź się: czy dodanie stałej 100 J/kg do potencjału zmieni ruch? Nie. Zmieni liczbową wartość potencjału w każdym miejscu o tyle samo, więc różnice i natężenie pozostaną niezmienione.

Czy ze wzoru na potencjał można odzyskać pole?

Rozważmy małe dodatnie przesunięcie dr na zewnątrz planety. Praca grawitacji nad ciałem próbnym m wynosi dW=mg_rdr, gdzie g_r jest składową ze znakiem. Ta sama praca to −m dφ. Po podzieleniu przez m dr:

g_r=-\frac{d\varphi}{dr},\qquad \varphi=-\frac{GM}{r},\qquad \frac{d\varphi}{dr}=+\frac{GM}{r^2},\qquad g_r=-\frac{GM}{r^2}.

Ujemny znak składowej oznacza zwrot do środka. Wzór g=GM/r² podaje dodatnią wartość natężenia. Stała dodana do φ nie zmienia jego pochodnej ani siły. Dlatego zmiana zera potencjału zmienia podawane wartości φ, lecz nie przewidywany ruch. W połowie odcinka między dwiema równymi masami pochodna wzdłuż odcinka jest zerowa, mimo że sam potencjał jest ujemny. Wystarczy lekko przesunąć ciało wzdłuż tego odcinka: bliższa masa zaczyna przyciągać silniej. Brak siły w jednym punkcie nie jest dowodem trwałej stabilności.

Zadania do tego tematu

• Grawitacja na planecie większej i masywniejszej
• Praca grawitacji przy zwiększeniu promienia
• Pole zero między równymi masami, potencjał nie

Dalsza lektura

Materiał referencyjny