Orbity Keplera: równe pola, okres obiegu i prędkość ucieczki

Potrzebne wiadomości: Grawitacja Newtona, energia i moment pędu.

Geometria i tempo obiegu

W dwuciałowym modelu związana orbita jest elipsą, z centrum siły w ognisku. Dla perycentrum rₚ i apocentrum rₐ wielka półoś wynosi a=(r_p+r_a)/2. Promień wodzący zakreśla równe pola w równych czasach. Wynika to z zachowania momentu pędu, ponieważ siła centralna ma zerowy moment względem centrum.

W skrajnych punktach prędkość jest prostopadła do promienia, więc r_pv_p=r_av_a. Na pozostałej orbicie zachowany jest iloczyn r·v⊥, gdzie v⊥ jest składową prędkości prostopadłą do promienia wodzącego. Nie jest to iloczyn r przez całkowitą szybkość bez uwzględnienia kąta.

Okres i energia

Dla małego satelity wokół masy M: T^2=4\pi^2a^3/(GM). Przy porównaniu orbit wokół tego samego centrum T_2/T_1=(a_2/a_1)^{3/2}. Dla koła a=r i v_k=\sqrt{GM/r}. Dla ogólnej orbity związanej E=-GMm/(2a).

Prędkość ucieczki wynika z energii końcowej równej zeru w nieskończoności: v_u=\sqrt{2GM/r}=\sqrt2\,v_k. Ucieczka nie oznacza, że przy tej prędkości siła grawitacji nagle znika. Wzory pomijają atmosferę, napęd po starcie, ruch innych ciał i obrót planety. Archiwalne zadania o satelitach pozostają zastosowaniami; tutaj porządkujemy teorię oraz ruch po elipsie.

Elipsa nie ma gwiazdy w środku

Koło jest szczególnym przypadkiem elipsy, ale przy wydłużonej orbicie różnica staje się istotna. W modelu małej planety obiegającej dużo cięższą gwiazdę gwiazda znajduje się w jednym ognisku. Odległość od niej zmienia się podczas obiegu. Wielka półoś a jest połową największej szerokości elipsy, a nie średnią szybkością ani dowolnym promieniem zmierzonym w danej chwili. Najmniejsza odległość to rₚ, największa rₐ; ich suma daje 2a.

Dla mas porównywalnych oba ciała poruszają się wokół wspólnego środka masy. Wtedy proste zdanie „jedno stoi, drugie obiega” jest przybliżeniem. W zadaniach z małą planetą przyjmujemy masę planety zaniedbywalną wobec M gwiazdy i pomijamy wpływ innych obiektów. Nie musimy rozwiązywać całego Układu Słonecznego, żeby zrozumieć sens praw Keplera, ale powinniśmy wiedzieć, co usunęliśmy z modelu.

Równe pola zamiast równych łuków

Grawitacja jest siłą centralną, więc jej moment względem gwiazdy jest zerowy. Zachowuje się moment pędu planety. Mały obszar zakreślony promieniem w czasie dt ma pole dA=rv⊥dt/2, gdzie v⊥ jest składową prędkości prostopadłą do promienia. Ponieważ mrv⊥ jest stałe, dA/dt też jest stałe. W równych czasach promień zakreśla równe pola, ale nie równe kąty ani równe odcinki orbity.

Blisko gwiazdy promień jest krótki, więc ciało musi pokonać większy łuk w tym samym czasie. Daleko porusza się wolniej. W perycentrum i apocentrum prędkość jest prostopadła do promienia, zatem rₚvₚ=rₐvₐ. W dowolnym innym punkcie nie wolno usuwać symbolu ⊥ bez sprawdzenia kąta. Właśnie dlatego proste porównanie szybkości jest szczególnie wygodne w dwóch skrajnych punktach.

Przykład: kometa na wydłużonej orbicie

Niech rₚ=1 jednostka odległości, rₐ=5 takich jednostek, a vₚ=50 km/s. W apocentrum vₐ=50/5=10 km/s. Wielka półoś a=(1+5)/2=3 jednostki, odległość ogniska od środka c=(5−1)/2=2, a mimośród e=c/a=2/3. Te trzy liczby pomagają narysować orbitę spójnie: gwiazda jest bliżej perycentrum, nie w geometrycznym środku elipsy.

Średnia arytmetyczna 50 i 10 km/s wynosi 30 km/s, ale nie jest automatycznie średnią szybkością obiegu. Ciało spędza więcej czasu daleko od gwiazdy, a długość całej elipsy również nie wynika z samej średniej dwóch promieni przez wzór na obwód koła. Do wyznaczania okresu używamy trzeciego prawa Keplera zamiast takiego skrótu.

Przykład: porównanie okresów

Dla ciał wokół tej samej dominującej masy T²/a³=4π²/(GM). Zwiększenie a czterokrotnie zwiększa a³64 razy, więc T² też rośnie 64 razy, a T osiem razy. Można policzyć to jako T₂/T₁=(a₂/a₁)^{3/2}. Nie podstawiamy samej aktualnej odległości r na eliptycznej orbicie. Jedna planeta zmienia r w ciągu roku, lecz nie zmienia od tego własnego okresu obiegu.

W modelu dwóch porównywalnych mas w mianowniku występuje G(M+m), a a opisuje orbitę względną. Przy porównywaniu różnych układów nie wystarczy więc znać stosunku półosi, jeśli masy centralne są różne. Jednostki też dają kontrolę: a³/(GM) ma wymiar sekund do kwadratu. Potęgowanie przypadkowego promienia w kilometrach przy GM zapisanym w SI zepsuje wynik, choć sam wzór pozostanie prawidłowy.

Prędkość ucieczki nie wyłącza grawitacji

Minimalna szybkość pozwalająca dotrzeć do nieskończoności z zerową graniczną szybkością spełnia mv²/2−GMm/r=0. Stąd v_uc=√(2GM/r). Dla kołowej orbity na tej samej odległości v_koł=√(GM/r), więc v_uc=√2 v_koł. Różnica wynika z bilansu energii, nie z istnienia ostrej granicy pola. Przy dokładnej prędkości ucieczki grawitacja nadal działa i stopniowo zmniejsza szybkość oddalającego się ciała.

Sprawdź się: podwajamy odległość startu od izolowanej planety. Jak zmienia się prędkość ucieczki? Odpowiedź: maleje do 1/√2 wartości, nie do połowy. Przy energii całkowitej równej zero dodatnia energia kinetyczna i ujemna potencjalna równoważą się w każdym skończonym r. Zero sumy nie oznacza, że oba składniki osobno znikają.

Orbita kołowa i ucieczka: dwie różne szybkości

Dla małego satelity na orbicie kołowej grawitacja zapewnia przyspieszenie dośrodkowe. Po skróceniu m i pomnożeniu równania przez r otrzymujemy:

\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv_{\mathrm{orb}}^2}{r},\qquad v_{\mathrm{orb}}^2=\frac{GM}{r}.

Po podstawieniu tej szybkości do energii E=mv²/2−GMm/r dostajemy E=−GMm/(2r). Satelita jest związany z planetą. Do granicy ucieczki potrzeba E=0, więc v_uc²=2GM/r. Stąd v_uc=√2 v_orb dla tej samej odległości r, bez atmosfery i dalszego napędu. Sama szybkość orbitalna nie wystarcza do ruchu kołowego: wektor prędkości musi też być prostopadły do promienia. Skierowanie go radialnie na zewnątrz da inny tor. Na elipsie szybkość zmienia się zgodnie z równaniem:

\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{2a},\qquad v^2=GM\left(\frac2r-\frac1a\right).

Ta zależność pozwala sprawdzić, czy opisane odległości i szybkości należą do jednej orbity. Dla a=r odtwarza wzór kołowy; dla granicy a→∞ — szybkość ucieczki.

Zadania do tego tematu

• Osiem razy dłuższy okres na większej orbicie
• Prędkości komety w dwóch skrajnych punktach
• Czy pojazd uciekający opuszcza pole grawitacyjne?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny