Orbity Keplera: równe pola, okres obiegu i prędkość ucieczki

Potrzebne wiadomości: Grawitacja Newtona, energia i moment pędu.

Geometria i tempo obiegu

W dwuciałowym modelu związana orbita jest elipsą, z centrum siły w ognisku. Dla perycentrum rₚ i apocentrum rₐ wielka półoś wynosi a=(r_p+r_a)/2. Promień wodzący zakreśla równe pola w równych czasach. Wynika to z zachowania momentu pędu, ponieważ siła centralna ma zerowy moment względem centrum.

W skrajnych punktach prędkość jest prostopadła do promienia, więc r_pv_p=r_av_a. Na pozostałej orbicie zachowany jest iloczyn r·v⊥, gdzie v⊥ jest składową prędkości prostopadłą do promienia wodzącego. Nie jest to iloczyn r przez całkowitą szybkość bez uwzględnienia kąta.

Okres i energia

Dla małego satelity wokół masy M: T^2=4\pi^2a^3/(GM). Przy porównaniu orbit wokół tego samego centrum T_2/T_1=(a_2/a_1)^{3/2}. Dla koła a=r i v_k=\sqrt{GM/r}. Dla ogólnej orbity związanej E=-GMm/(2a).

Prędkość ucieczki wynika z energii końcowej równej zeru w nieskończoności: v_u=\sqrt{2GM/r}=\sqrt2\,v_k. Ucieczka nie oznacza, że przy tej prędkości siła grawitacji nagle znika. Wzory pomijają atmosferę, napęd po starcie, ruch innych ciał i obrót planety. Archiwalne zadania o satelitach pozostają zastosowaniami; tutaj porządkujemy teorię oraz ruch po elipsie.

Zadania do tego tematu

• Osiem razy dłuższy okres na większej orbicie
• Prędkości komety w dwóch skrajnych punktach
• Czy pojazd uciekający opuszcza pole grawitacyjne?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny