Grawitacja na planecie większej i masywniejszej

Rozwiązanie

Używamy odległości od środka planety

Na powierzchni sferycznie symetrycznej planety g=GM/R². Dla A mamy GM_A/R_A², dla B odpowiednio G·4M_A/(2R_A)². Wspólne G, masa odniesienia i kwadrat promienia skracają się w ilorazie. Zostaje 4/4=1.

Dwa konkurujące wpływy

Czterokrotnie większa masa zwiększa pole czterokrotnie przy tej samej odległości. Dwukrotnie większy promień powierzchni zmniejsza je czterokrotnie przy tej samej masie. W podanym porównaniu oba czynniki dokładnie się równoważą. Nie trzeba znać g na żadnej planecie, aby ustalić ich równość.

Porównanie planet zapisujemy jako iloraz

\frac{g_B}{g_A}=\frac{GM_B/R_B^2}{GM_A/R_A^2}=\frac{M_B}{M_A}\left(\frac{R_A}{R_B}\right)^2=4\left(\frac12\right)^2=1.

Najpierw odwróciliśmy ułamek w mianowniku i pomnożyliśmy. Podwojony promień wpływa na kwadrat odległości, więc nie wolno obliczyć 4/2. Nie założyliśmy jednakowej gęstości obu planet.

Wynik

Stosunek g_B/g_A=4/2²=1. Przyspieszenia powierzchniowe są równe. Większa masa nie wystarcza, aby przesądzić o silniejszym polu na powierzchni: większy promień przeciwdziała jej wpływowi.

Kontrola przez inną wielkość

Równe g nie oznacza równych potencjałów. Przy zerze w nieskończoności φ=−GM/R, więc wartość bezwzględna potencjału powierzchniowego B jest dwa razy większa. Prędkość ucieczki, proporcjonalna do √(GM/R), jest √2 razy większa. Różne potęgi R we wzorach opisują różne pytania o to samo pole.

Wariant: gdyby obie planety miały tę samą średnią gęstość i druga dwukrotnie większy promień, jej masa wzrosłaby osiem razy, nie cztery. Wtedy g powierzchniowe byłoby dwa razy większe. W pierwotnym zadaniu nie założono jednakowej gęstości, więc nie dopisujemy tego warunku i nie zmieniamy podanego stosunku mas.

Dodatkowa kontrola

Jeśli położymy na obu planetach ciało próbne o tej samej masie, siły ciężkości też będą równe, bo F=mg. Nie dotyczy to automatycznie nacisku na obracającej się planecie: przy jej uwzględnionym ruchu potrzebne byłyby dodatkowe dane. Tutaj porównujemy grawitacyjne natężenie pola sferycznych źródeł, a nie rzeczywiste wskazania konkretnej wagi z pełną dynamiką planety.

Powiązana teoria

Pole grawitacyjne: natężenie, potencjał i wybrane zero energii

Dalsza lektura

Materiał referencyjny