Praca grawitacji przy zwiększeniu promienia

Rozwiązanie

Wybieramy wspólne zero energii

Dla obu położeń używamy E_p=−GMm/r z zerem w nieskończoności. Podane GM ma jednostkę m³/s² i zawiera już iloczyn stałej oraz masy planety; nie mnożymy go ponownie przez G. Masa przenoszonego ciała wynosi 2 kg.

Dwie energie i ich różnica

Przy r₁=10⁷ m mamy E₁=−(4·10¹⁴)·2/10⁷=−8·10⁷ J. Przy r₂=2·10⁷ m otrzymujemy −4·10⁷ J. Odejmowanie końcowej minus początkowa daje ΔE=−4·10⁷−(−8·10⁷)=+4·10⁷ J. Praca zachowawczej siły grawitacji ma przeciwny znak.

Odejmujemy energię początkową razem z jej minusem

\Delta E_p=GMm\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right)=(4{,}0\cdot10^{14}\,\mathrm{m^3/s^2})(2\,\mathrm{kg})\left(\frac1{10^7\,\mathrm m}-\frac1{2\cdot10^7\,\mathrm m}\right)=4{,}0\cdot10^7\,\mathrm J.

Nawias zawiera 5·10⁻⁸ m⁻¹. Jednostki całego iloczynu to kg·m²/s²=J. Dodatnia zmiana Eₚ oznacza wzrost energii przy oddalaniu, natomiast W_g=−ΔEₚ=−4,0·10⁷ J. Są to dwie różne wielkości, o które pyta zadanie.

Wynik

Energie wynoszą −8,0·10⁷ J i −4,0·10⁷ J. Zatem \Delta E_p=+4{,}0\cdot10^7 J, a praca grawitacji −4,0·10⁷ J. Podnoszący mechanizm musiałby wykonać pracę dodatnią przy niezmienionej energii kinetycznej.

Znak i bilans mechanizmu

Oddalanie się podnosi energię potencjalną, choć zmniejsza wartość bezwzględną jej ujemnej liczby. Grawitacja działa przeciwnie do przemieszczenia i wykonuje pracę ujemną. Jeśli przenoszenie odbywa się z jednakową początkową i końcową energią kinetyczną, zewnętrzny mechanizm dostarcza +4·10⁷ J.

Wariant: w drodze powrotnej między tymi samymi punktami zmiana energii wyniosłaby −4·10⁷ J, a praca grawitacji +4·10⁷ J. Suma prac grawitacji po pełnym obiegu byłaby zerowa. Wzór mgh z jednym stałym g nie jest tutaj dokładny, ponieważ odległość od środka zwiększa się dwukrotnie, a pole zmienia się czterokrotnie.

Dodatkowa kontrola

Możemy również porównać potencjały: φ₁=−4·10⁷ J/kg, φ₂=−2·10⁷ J/kg. Różnica 2·10⁷ J/kg pomnożona przez 2 kg daje tę samą zmianę 4·10⁷ J. Potencjał jest właściwością pola w miejscu; energia potencjalna dotyczy dodatkowo wskazanego ciała próbnego. Ta druga droga pozwala wykryć przypadkowe podwojenie jego masy.

Powiązana teoria

Pole grawitacyjne: natężenie, potencjał i wybrane zero energii

Dalsza lektura

Materiał referencyjny