Pole zero między równymi masami, potencjał nie

Rozwiązanie

Rozdzielamy sumę wektorową i skalarną

Środek odcinka leży w odległości a od każdej masy. Każde źródło daje natężenie o wartości GM/a², skierowane ku sobie. Dwa wektory mają przeciwne zwroty i równe wartości, więc ich suma jest zerowa. To stwierdzenie o sile na ciało próbne dokładnie w tym punkcie.

Dodajemy potencjały ze wspólnym zerem

Przy zerze w nieskończoności każdy potencjał wynosi−GM/a. Nie ma tu zwrotów lewo i prawo, bo potencjał jest skalarem. Zatem φ=−2GM/a. Energia próbnego ciała m wynosiłaby −2GMm/a, mimo zerowej siły w punkcie środkowym.

Składowe pola znoszą się, potencjały dodają

g_x=-\frac{GM}{a^2}+\frac{GM}{a^2}=0,\qquad \varphi=-\frac{GM}{a}-\frac{GM}{a}=-\frac{2GM}{a}.

Dodatni zwrot osi wybieramy od lewej masy ku prawej. Lewe pole ma składową ujemną, prawe dodatnią. W drugim równaniu nie ma przeciwnych kierunków potencjału: minusy wynikają z przyjętego zera w nieskończoności. To nie dwa sposoby dodawania tych samych liczb, lecz sumowanie dwóch różnych wielkości.

Wynik

Natężenia mają równe wartości GM/a² i przeciwne zwroty, więc ich suma wynosi zero. Potencjał to \varphi=-2GM/a. Warunek g=0 nie ustala poziomu odniesienia energii i nie zeruje sumy potencjałów.

Dlaczego nie ma sprzeczności?

Siła wiąże się ze zmianą potencjału między bliskimi miejscami, a nie z samą jego wartością. W punkcie symetrii pierwszy przyrost wzdłuż osi znosi się, lecz potencjał nie musi mieć wartości zero. Można przesunąć poziom odniesienia o stałą bez zmiany pola; wybrany w treści poziom w nieskończoności ustala konkretną ujemną liczbę.

Wariant: małe przesunięcie w stronę jednej masy sprawia, że jej przyciąganie staje się silniejsze od przyciągania drugiej. Wzdłuż łączącej je osi równowaga w środku jest niestabilna. Zerowa siła w jednym punkcie nie gwarantuje powrotu do niego po odchyleniu i nie oznacza zerowego pola w całej okolicy.

Dodatkowa kontrola

Gdyby próbne ciało miało dwukrotnie większą masę, natężenie i potencjał pozostałyby takie same, lecz jego energia potencjalna podwoiłaby się. Siła w środku nadal wynosiłaby zero, bo m razy zerowy wektor pozostaje zerem. Właśnie dlatego definicje pola i potencjału zawierają podział przez masę próbną: opisują źródła i miejsce, nie konkretny próbnik.

Powiązana teoria

Pole grawitacyjne: natężenie, potencjał i wybrane zero energii

Dalsza lektura

Materiał referencyjny