Prędkości komety w dwóch skrajnych punktach

Rozwiązanie

Wykorzystujemy skrajne punkty elipsy

W perycentrum i apocentrum prędkość jest prostopadła do promienia od gwiazdy. Zachowany moment pędu ma tam postać mrv, więc rₚvₚ=rₐvₐ. Masa komety skraca się. Obie odległości podano w tej samej jednostce, dlatego ich iloraz 1/5 jest bezwymiarowy.

Szybkość i geometria

vₐ=(rₚ/rₐ)vₚ=(1/5)·50=10 km/s. Suma odległości skrajnych rₚ+rₐ jest długością wielkiej osi, więc a=(1+5)/2=3 jednostki. Nie jest to odległość od gwiazdy do geometrycznego środka elipsy; ta wynosi c=(5−1)/2=2 jednostki.

Dzielimy zachowany moment pędu przez rₐ

r_pv_p=r_av_a\ \Longrightarrow\ v_a=\frac{r_p}{r_a}v_p=\frac15(50\,\mathrm{km/s})=10\,\mathrm{km/s},\qquad 2a=r_p+r_a=6\ \text{jednostek}.

Z ostatniego równania a=3 jednostki odległości. Zapis mrv jest tu dozwolony, bo w obu skrajnych punktach wektor prędkości jest prostopadły do promienia wodzącego. W dowolnym innym punkcie potrzebna byłaby składowa styczna do okręgu wokół gwiazdy: L=mr v_⊥.

Wynik

Z zachowania momentu pędu v_a=50/5=10 km/s. Wielka półoś wynosi (1+5)/2=3 jednostki odległości. Średnia arytmetyczna szybkości w skrajnych punktach nie jest na tej podstawie średnią szybkością całego obiegu.

Sprawdzamy kierunek zmiany

Kometa porusza się wolniej dalej od gwiazdy, zgodnie z prawem równych pól. Iloczyny 1·50 oraz 5·10 są równe, co sprawdza zachowanie momentu pędu. Mimośród e=c/a=2/3 jest mniejszy od 1, więc geometria odpowiada elipsie. Nie trzeba znać fizycznego przelicznika jednostki odległości, żeby ustalić te stosunki.

Wariant: na orbicie kołowej rₚ=rₐ i otrzymalibyśmy równe szybkości. W podanym przykładzie średnia arytmetyczna 50 i 10 km/s nie jest średnią szybkością całego obiegu. Nie znamy z tego rachunku czasu spędzonego w poszczególnych częściach toru ani jego pełnej długości, więc nie dopisujemy 30 km/s jako kolejnej odpowiedzi.

Dodatkowa kontrola

Geometrię można sprawdzić przez wzory rₚ=a(1−e) i rₐ=a(1+e). Przy a=3 i e=2/3 otrzymujemy odpowiednio 1 oraz 5. Druga półoś elipsy wynosi b=√(a²−c²)=√5 jednostek. Te liczby określają spójny rysunek; narysowanie gwiazdy w środku zniszczyłoby podane odległości, nawet przy poprawnym rachunku prędkości.

Powiązana teoria

Orbity Keplera: równe pola, okres obiegu i prędkość ucieczki

Dalsza lektura

Materiał referencyjny