Czy pojazd uciekający opuszcza pole grawitacyjne?

Rozwiązanie

Prędkość ucieczki jest warunkiem energetycznym

Przy zerze energii potencjalnej w nieskończoności v_uc=√(2GM/r₀). Początkowa energia mv_uc²/2−GMm/r₀ jest równa zero. Po wyłączeniu napędu energia mechaniczna pozostaje zerowa, bo uwzględniamy tylko zachowawczą grawitację i pomijamy atmosferę.

Ruch w dowolnej skończonej odległości

W dalszym locie mv²/2−GMm/r=0, zatem v(r)=√(2GM/r). Gdy r rośnie, szybkość maleje. Grawitacja nadal jest skierowana do planety, przeciwnie do radialnego ruchu na zewnątrz. Siła ma niezerową wartość GMm/r² dla każdego skończonego r.

Z zerowej energii wynika dodatnia szybkość dla każdego r

\frac12mv^2-\frac{GMm}{r}=0\ \Longrightarrow\ v^2=\frac{2GM}{r}\ \Longrightarrow\ \frac{v(r)}{v(r_0)}=\sqrt{\frac{r_0}{r}}.

Podzieliliśmy równanie przez dodatnie m i pomnożyliśmy przez 2. Dla r=4r₀ iloraz szybkości wynosi 1/2, a siła maleje do 1/16 wartości początkowej. Żadna z nich nie znika w skończonej odległości. Radialny kierunek podano w treści: dlatego grawitacja jest przeciwna do chwilowej prędkości i hamuje ruch.

Wynik

Grawitacja nadal przyciąga pojazd, więc jego szybkość maleje. W idealnym modelu zbliża się do zera dopiero przy odległości dążącej do nieskończoności. Energia całkowita równa zero oznacza bilans energii kinetycznej i ujemnej potencjalnej, nie brak oddziaływania.

Granica nie jest miejscem zatrzymania

Prędkość dąży do zera dopiero przy r dążącym do nieskończoności. W idealnym modelu nie ma skończonej wysokości, na której pojazd zatrzyma się i zacznie spadać. Taki punkt zwrotny wystąpiłby przy mniejszej energii początkowej, czyli szybkości poniżej ucieczki, w radialnym locie bez dalszego napędu.

Wariant: na czterokrotnie większej odległości od środka szybkość jest dwukrotnie mniejsza niż na starcie, ale nadal dodatnia. Gdyby początkowa szybkość była większa od ucieczki, energia całkowita byłaby dodatnia i pozostałaby niezerowa szybkość graniczna w nieskończoności. Zero energii całkowitej nie oznacza zaniku siły ani zerowych składników energii osobno.

Dodatkowa kontrola

W radialnym locie z energią zero równanie dr/dt=√(2GM/r) daje czas do r proporcjonalny do r^{3/2}−r₀^{3/2}. Czas rośnie bez ograniczenia wraz z odległością. Nie chodzi więc o zatrzymanie po jakimś bardzo długim, ale skończonym czasie na granicy pola; model grawitacji nie ma takiej granicy.

Powiązana teoria

Orbity Keplera: równe pola, okres obiegu i prędkość ucieczki

Dalsza lektura

Materiał referencyjny