Osiem razy dłuższy okres na większej orbicie

Rozwiązanie

Porównujemy orbity wokół tej samej gwiazdy

W modelu planet o masach zaniedbywalnych wobec gwiazdy trzecie prawo Keplera daje T²/a³=4π²/(GM). Prawa strona jest wspólna, bo masa gwiazdy jest ta sama. Nie potrzebujemy jej liczbowej wartości ani bezwzględnej długości półosi, jeśli szukamy tylko stosunku okresów.

Najpierw kwadrat, potem pierwiastek

Z a₂=4a₁ otrzymujemy T₂²/T₁²=4³=64. Okresy są dodatnie, więc T₂/T₁=√64=8. Czynnik 4 nie przenosi się bezpośrednio na czas, a czynnik 64 dotyczy kwadratu okresu, nie okresu.

Wyciągamy pierwiastek dopiero po porównaniu kwadratów

\frac{T_2^2}{T_1^2}=\frac{a_2^3}{a_1^3}=4^3=64,\qquad \frac{T_2}{T_1}=\sqrt{64}=8.

Okres jest czasem trwania obiegu, więc wybieramy dodatni pierwiastek. Wspólny czynnik 4π²/(GM) skraca się dlatego, że obie małe planety obiegają tę samą gwiazdę. Wielka półoś jest stałą cechą elipsy, a chwilowa odległość od gwiazdy nią nie jest.

Wynik

T_2/T_1=4^{3/2}=8. Masy planet są pomijalne względem gwiazdy, więc w tym modelu nie są potrzebne. Dla porównywalnych mas trzeba uwzględnić sumę mas w prawie dwuciałowym.

Znaczenie półosi i masy

Na elipsie używamy wielkiej półosi, nie chwilowej odległości od gwiazdy. Planeta zmienia tę odległość w czasie obiegu, ale cały obieg ma jeden okres. Masa małej planety skraca się w modelu dominującej masy centralnej. Dla porównywalnych mas trzeba uwzględnić M+m i opisać ruch względny obu ciał.

Wariant: jeśli pierwsza orbita ma okres 1 rok, druga ma 8 lat. Jeżeli jednocześnie druga gwiazda miałaby czterokrotnie większą masę niż pierwsza, stosunek wyniósłby √(64/4)=4 zamiast 8. Ten wariant pokazuje, dlaczego wspólne ciało centralne jest istotnym warunkiem, a nie zbędnym szczegółem treści.

Dodatkowa kontrola

Prawo można też odwrócić: osiem razy dłuższy okres oznacza cztery razy większą półoś w tym samym układzie centralnym, ponieważ a₂/a₁=(T₂/T₁)^{2/3}. To kontrola odwracalności rachunku. Zmiana jednostki czasu z lat na sekundy nie zmienia stosunku, jeśli obie wartości wyrazimy w tej samej jednostce.

Powiązana teoria

Orbity Keplera: równe pola, okres obiegu i prędkość ucieczki

Dalsza lektura

Materiał referencyjny