Prawo rozpadu: losowy pojedynczy atom, przewidywalna duża próbka

Potrzebne wiadomości: Funkcja wykładnicza, logarytm i liczba jąder.

Liczba jąder, które jeszcze się nie rozpadły

Oznaczmy przez N₀ początkową liczbę jąder wybranego izotopu, a przez N(t) liczbę jego jąder pozostałych po czasie t. Gdy jądro ulega przemianie, przestajemy uwzględniać je w N. Jądro potomne i wyemitowane cząstki nadal istnieją. Zmniejsza się liczba jąder badanego izotopu, a nie liczba wszystkich składników materii w otoczeniu.

Na razie rozważamy jeden rodzaj nietrwałych jąder w ustalonych warunkach. Jądra rozpadają się niezależnie, a do próbki nie dopływa nowy badany izotop i nie jest on z niej usuwany inną drogą. Dzięki temu zmiana N wynika wyłącznie z rozpadu. Pod koniec lekcji zobaczymy, dlaczego to założenie jest tak ważne przy datowaniu.

Stałe prawdopodobieństwo rozpadu

Nie potrafimy podać chwili rozpadu konkretnego jądra. Możemy za to określić prawdopodobieństwo, że rozpadnie się w najbliższym krótkim przedziale czasu. Jeżeli jądro dotąd przetrwało, ta szansa jest taka sama niezależnie od tego, jak długo już istniało. Długie oczekiwanie nie oznacza, że jego rozpad musi teraz nastąpić.

Stała rozpadu λ opisuje tę szansę w przeliczeniu na jednostkę czasu. W dostatecznie krótkim czasie Δt prawdopodobieństwo rozpadu jednego jądra jest w przybliżeniu równe λΔt. Z N jąder spodziewamy się więc średnio λNΔt przemian. Jeżeli jąder jest dwa razy więcej, w takim samym krótkim czasie oczekujemy dwa razy więcej rozpadów:

\Delta N\approx-\lambda N\Delta t,\qquad \frac{dN}{dt}=-\lambda N.

Minus oznacza ubytek. Zapis dN/dt opisuje tempo zmiany N; równanie mówi, że jest ono proporcjonalne do liczby jąder, które jeszcze mogą się rozpaść. Dlatego krzywa opada coraz łagodniej: z czasem pozostaje mniej jąder. Rozwiązaniem tej zależności jest funkcja wykładnicza:

N(t)=N_0e^{-\lambda t}.

W tym wzorze N(t) oznacza wartość oczekiwaną, czyli średnią z bardzo wielu takich samych doświadczeń. Dla dużej próbki dobrze przybliża rzeczywistą liczbę jąder. Iloczyn λt nie ma jednostki: gdy czas podajemy w sekundach, λ wyrażamy w s⁻¹; gdy w latach, w rok⁻¹. Nie wolno bez przeliczenia łączyć sekund z wartością λ podaną na rok.

Okres połowicznego rozpadu

Okres połowicznego rozpadu T₁/₂ to czas, po którym pozostaje średnio połowa początkowej liczby jąder. Podstawmy do prawa rozpadu t = T₁/₂ oraz N = N₀/2:

\frac{N_0}{2}=N_0e^{-\lambda T_{1/2}}.

Dzielimy obie strony przez N₀, a następnie obliczamy ich logarytmy naturalne:

\frac{1}{2}=e^{-\lambda T_{1/2}},\qquad \ln\frac{1}{2}=-\lambda T_{1/2}.

Ponieważ ln(1/2) = −ln 2, otrzymujemy:

\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}},\qquad T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}.

N₀ skróciło się podczas przekształcenia. Okres połowicznego rozpadu nie zależy więc od tego, czy na początku mieliśmy małą, czy dużą próbkę tego samego izotopu w tych samych warunkach. Większa stała λ oznacza większe prawdopodobieństwo rozpadu w krótkim czasie, a zatem krótszy okres T₁/₂.

Po zastąpieniu λ we wzorze na N dostajemy wygodną postać:

\frac{N(t)}{N_0}=2^{-t/T_{1/2}}=\left(\frac12\right)^{t/T_{1/2}}.

Po każdym kolejnym okresie zostaje połowa tego, co było na jego początku. Załóżmy N₀ = 800 i T₁/₂ = 10 min. Tabela przedstawia wartości oczekiwane:

W drugich 10 minutach ubywa średnio 200 jąder, bo rozpaść może się już tylko 400 pozostałych. Gdybyśmy za każdym razem odejmowali 400, otrzymalibyśmy zero po 20 minutach; byłby to model stałego ubytku, nie rozpadu promieniotwórczego.

Wzór działa również między całymi okresami. Po 15 minutach upływa 15/10 = 1,5 okresu:

N(15\,\mathrm{min})=800\cdot2^{-15/10}=\frac{800}{2^{1{,}5}}\approx282{,}8.

Nie zaokrąglamy liczby okresów do jednego ani dwóch. Wynik 282,8 jest średnią; w pojedynczej próbce liczba pozostałych jąder będzie całkowita.

Mała próbka i losowe wyniki

Weźmy tylko cztery niezależne jądra. Po jednym okresie każde z nich ma prawdopodobieństwo przetrwania 1/2. Średnia liczba pozostałych jąder wynosi więc 4 · 1/2 = 2. Nie oznacza to jednak, że w każdym doświadczeniu pozostaną dokładnie dwa.

Może przetrwać dowolna para: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4) albo (3, 4). Każdy z tych sześciu wyników ma prawdopodobieństwo (1/2)⁴ = 1/16, ponieważ określa los wszystkich czterech jąder. Łącznie prawdopodobieństwo pozostania dokładnie dwóch wynosi 6/16 = 37,5%. Możliwe jest też pozostanie zera, jednego, trzech lub czterech jąder, jak na prawym wykresie.

Dla dużych próbek względne odchylenia od średniej są zwykle znacznie mniejsze. Po jednym okresie z miliona jąder pozostaje średnio 500 000, a odchylenie standardowe wynosi 500, czyli 0,1% tej średniej. Dla czterech jąder średnia to 2, a odchylenie standardowe 1, czyli aż 50%. Te liczby wynikają z niezależności rozpadów: przy prawdopodobieństwie przetrwania p odchylenie standardowe liczby pozostałych jąder jest równe:

\sigma_N=\sqrt{N_0p(1-p)}.

Odchylenie standardowe opisuje typowy rozrzut wyników, a nie nieprzekraczalną granicę. W skończonej próbce może w końcu rozpaść się również ostatnie jądro. Nie przeczy to temu, że wykładnicza krzywa średniej zbliża się do zera, lecz nie osiąga go w skończonym czasie.

Aktywność źródła a wskazania detektora

Aktywność A to oczekiwana liczba przemian jądrowych w jednostce czasu. Z równania opisującego ubytek jąder otrzymujemy:

A(t)=-\frac{dN}{dt}=\lambda N(t),\qquad A(t)=A_0e^{-\lambda t}.

Jednostką aktywności jest bekerel: 1 Bq odpowiada jednej przemianie na sekundę. Aby otrzymać A w Bq, trzeba użyć λ w s⁻¹. Aktywność maleje z takim samym okresem połowicznego rozpadu jak liczba jąder danego izotopu. Sama informacja o aktywności nie określa dawki pochłoniętej przez ciało; ta zależy m.in. od energii promieniowania i od tego, jaka jej część została pochłonięta.

Detektor rejestruje tylko część promieniowania. Nie każda cząstka trafia w jego obszar czynny, a część może zostać pochłonięta po drodze. Wydajność rejestracji ε uwzględnia te straty w danym układzie pomiarowym. Jeżeli każdy rozpad emituje jedną badaną cząstkę, a przyrząd nie pomija dodatkowo impulsów wskutek zbyt szybkiego ich napływu, oczekiwana częstość zliczeń wynosi:

R=\varepsilon A+R_{\text{tła}}.

R to liczba zarejestrowanych impulsów na sekundę, a R_tła to częstość impulsów pochodzących z tła, wyznaczona w osobnym pomiarze. Gdy badana emisja występuje tylko w części rozpadów, trzeba dodatkowo uwzględnić jej prawdopodobieństwo. Zliczeń z różnych emisji lub różnych izotopów nie można bez takiej analizy utożsamiać z aktywnością jednego izotopu.

Przykładowo źródło o aktywności 200 Bq przy wydajności 10% daje średnio 20 impulsów/s. Jeśli tło wnosi 2 impulsy/s, detektor pokaże średnio 22 impulsy/s. Po jednym okresie aktywność źródła spadnie do 100 Bq, więc przy niezmiennym tle i wydajności otrzymamy 10 + 2 = 12 impulsów/s. Cały odczyt nie zmalał do 11 impulsów/s, ponieważ tło nie zmniejszyło się razem z aktywnością źródła.

Liczba zliczeń zależy również od czasu pomiaru. Przy praktycznie stałym R = 22 impulsy/s przez 10 s oczekujemy C = RΔt = 220 impulsów. Kolejne pomiary dadzą nieco różne C. Znając R, wydajność i tło, odzyskujemy aktywność przez odjęcie tła, a potem podzielenie przez wydajność:

A=\frac{R-R_{\text{tła}}}{\varepsilon}.

Obliczanie wieku próbki

Jeżeli znamy początkową liczbę jąder N₀, obecną liczbę N i okres połowicznego rozpadu, możemy obliczyć czas, w którym nastąpił ubytek. Podzielmy prawo rozpadu przez N₀:

\frac{N}{N_0}=e^{-\lambda t}.

Po zlogarytmowaniu obu stron niewiadoma t przestaje być wykładnikiem:

\ln\frac{N}{N_0}=-\lambda t.

Dzielimy przez −λ. Zmiana znaku logarytmu odwraca ułamek w jego argumencie:

t=-\frac{1}{\lambda}\ln\frac{N}{N_0}=\frac{1}{\lambda}\ln\frac{N_0}{N}=\frac{T_{1/2}}{\ln2}\ln\frac{N_0}{N}.

Równoważnie można zapisać t = T₁/₂ log₂(N₀/N). Dla N mniejszego od N₀ iloraz N₀/N jest większy od jedności, więc logarytm i otrzymany czas są dodatnie. Gdy pozostało 1/4, minęły dwa okresy; gdy 1/8, trzy. Dla innych ułamków korzystamy z logarytmu zamiast zgadywać liczbę okresów.

Przykład: datowanie fragmentu drewna

W szkolnym modelu zakładamy, że znamy początkową zawartość węgla-14, a po obumarciu badanej tkanki drewno nie wymieniało węgla z otoczeniem. Z pomiaru i przyjętej wartości początkowej wynika, że N/N₀ = 0,30. Przyjmujemy T₁/₂ = 5730 lat. Obliczamy czas od ustania wymiany węgla:

t=\frac{5730\,\mathrm{lat}}{\ln2}\ln\frac{1}{0{,}30}.

Iloraz logarytmów mówi, ile okresów upłynęło:

\frac{\ln(1/0{,}30)}{\ln2}\approx1{,}737,\qquad t\approx5730\cdot1{,}737\,\mathrm{lat}\approx9950\,\mathrm{lat}.

Sprawdzamy sens wyniku. Po jednym okresie pozostałoby 50%, a po dwóch 25%. Zmierzone 30% leży pomiędzy nimi, zatem wiek powinien być większy niż 5730 lat i mniejszy niż 11 460 lat. Otrzymane około 9950 lat spełnia ten warunek. Podstawienie do prawa rozpadu daje 2^−9950/5730 ≈ 0,30.

Założenia i ograniczenia datowania

Samo zmierzenie obecnej liczby jąder nie wystarcza. Ta sama liczba N mogła pozostać z dużej próbki po długim czasie albo z mniejszej po krótszym. W naszym modelu potrzebujemy także N₀ lub wiarygodnego oszacowania początkowego stosunku izotopów. W datowaniu radiowęglowym porównuje się zawartość węgla-14 z ilością stabilnego węgla, aby wielkość pobranego fragmentu nie udawała różnicy wieku.

Jeżeli do dawnego materiału domiesza się współczesny węgiel o większej zawartości węgla-14, zmierzony stosunek wzrośnie i prosty rachunek da zbyt mały wiek. Dlatego próbkę oczyszcza się i bada jej pochodzenie. Założenie braku wymiany z otoczeniem dotyczy rzeczywistego materiału przez cały rozpatrywany czas, a nie tylko szczelności pojemnika podczas dzisiejszego pomiaru.

Początkowa zawartość węgla-14 w atmosferze zmieniała się w czasie. Wynik prostego prawa rozpadu wymaga więc porównania z krzywą kalibracyjną, opartą m.in. na próbkach o wieku ustalonym z rocznych przyrostów drzew. Obliczonych około 9950 lat nie należy bez takiej kalibracji zamieniać na konkretny rok kalendarzowy. Oxford Radiocarbon Accelerator Unit wyjaśnia różnicę między wynikiem pomiaru radiowęglowego a datą kalendarzową.

Trzeba również ustalić, jakie zdarzenie datujemy. W przykładzie chodzi o czas od ustania wymiany węgla w badanej tkance. Przedmiot wykonany ze starego drewna może być młodszy od samego drewna. Prawo rozpadu pozwala policzyć czas, ale związek tego czasu z historią zabytku wynika z rodzaju i pochodzenia próbki.

Jak domieszka współczesnego węgla zmienia wynik?

W poprzednim przykładzie pozostała część węgla-14 wynosiła q=N/N₀=0,30. Załóżmy teraz, że 10% stabilnego węgla w oczyszczonej do pomiaru mieszaninie pochodzi jednak z domieszki o współczesnym stosunku izotopów, któremu w naszym uproszczonym modelu przypisujemy q=1. Pozostałe 90% pochodzi ze starego drewna. Stosunek w mieszaninie wyniesie:

q_{\mathrm{miesz}}=0{,}90\cdot0{,}30+0{,}10\cdot1=0{,}37.

Ważymy tu udziały ilością stabilnego węgla, a nie liczbą wszystkich atomów dowolnych składników próbki. Gdybyśmy nie rozpoznali domieszki, z prostego wzoru dostalibyśmy:

t_{\mathrm{poz}}=\frac{5730\,\mathrm{lat}}{\ln2}\ln\frac1{0{,}37}\approx8220\,\mathrm{lat}.

Próbka wydałaby się o około 1730 lat młodsza od wyniku około 9950 lat dla q=0,30. Nie zmienił się okres połowicznego rozpadu. Zmieniła się zawartość izotopu z przyczyny innej niż rozpad, więc samo prawo rozpadu nie opisuje już całej historii mieszaniny. Podane udziały są przykładem rachunkowym, nie pomiarem konkretnego zabytku ani kalibracją wieku radiowęglowego.

Zadania do tego tematu

• Aktywność to nie skuteczność licznika
• Datowanie umownej próbki z jedną ósmą początkowego izotopu
• Czy po okresie połowicznym muszą pozostać dwa z czterech jąder?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny