Czy po okresie połowicznym muszą pozostać dwa z czterech jąder?

Rozwiązanie

Średnia liczba pozostałych jąder

Przetrwanie każdego z czterech jąder ma prawdopodobieństwo 1/2. Każde wnosi więc do wartości oczekiwanej taki sam udział 1/2:

\overline{N}=\frac12+\frac12+\frac12+\frac12=4\cdot\frac12=2.

Nie ma takiej gwarancji. Mogą pozostać od zera do czterech jąder. Oczekiwana liczność wynosi 4·1/2=2, lecz pojedynczy wynik jest losowy. Prawo rozpadu nie zamienia małego zbioru w deterministycznie dzieloną porcję.

Na przykład prawdopodobieństwo przetrwania wszystkich czterech wynosi (1/2)⁴ = 1/16. Już to pokazuje, że wynik „dwa” nie jest pewny.

Prawdopodobieństwo pozostania dokładnie dwóch jąder

Oznaczmy jądra numerami 1, 2, 3, 4. Przetrwać może jedna z sześciu par: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4) lub (3, 4). Dla każdej wybranej pary wymagamy, by dwa jądra przetrwały i dwa się rozpadły. Ponieważ przemiany są niezależne, prawdopodobieństwo jednego takiego wyniku jest iloczynem czterech czynników 1/2:

P(\text{dokładnie dwa})=6\cdot\left(\frac12\right)^4=\frac6{16}=37{,}5\%.

Prawdopodobieństwa sumują się do 16/16 = 1. Wynik dwa jest spośród nich najbardziej prawdopodobny, ale pojawia się tylko w 37,5% doświadczeń. Średnia dwóch jąder ujawnia się przy wielokrotnym powtarzaniu doświadczenia; nie narzuca każdej czterojądrowej próbce dokładnego podziału na połowy.

Powiązana teoria

Prawo rozpadu: losowy pojedynczy atom, przewidywalna duża próbka

Dalsza lektura

Materiał referencyjny