Różne czasy pomiaru: pułapka przy odejmowaniu tła

Rozwiązanie

Normalizacja czasu przed odejmowaniem

Pomiar źródła trwał dłużej niż pomiar tła. Najpierw obliczamy obie częstości, dzięki czemu porównujemy tę samą wielkość w jednostce s⁻¹. Wydajność stosujemy dopiero do sygnału po korekcie.

Częstość całkowita to 1800/300=6\,\mathrm{s}^{-1}, a tła 240/120=2\,\mathrm{s}^{-1}. Stąd r=4\,\mathrm{s}^{-1}.

R=\frac4{0{,}20}\,\mathrm{Bq}=20\,\mathrm{Bq}

Można też przeliczyć tło na 300 s: oczekujemy 600 impulsów, a po odjęciu pozostaje 1200. Podzielenie przez 300 s daje tę samą częstość.

Odpowiedź: 20 Bq. Najpierw normalizujemy oba pomiary do czasu.

Kontrola przez ponowne przewidzenie zliczeń

20 Bq przy wydajności 0,20 daje 4 impulsy/s. Po dodaniu tła 2 impulsy/s otrzymujemy 6, a przez 300 s dokładnie oczekiwane 1800. Zgodność odtwarza wszystkie dane, nie tylko końcowy iloraz.

Rozpisz, co oznacza każda liczba

1800 to liczba zliczeń podczas obserwacji źródła wraz z otoczeniem. Nie wiemy jeszcze, ile z nich należy przypisać źródłu. 240 pochodzi z innej obserwacji, krótszej o 180 s. W obu pomiarach wspólne jest założone tło 2 s⁻¹, nie jego surowa liczba impulsów.

Wyobraź sobie dwa nagrania deszczu: jedno trwa pięć minut, drugie dwie. Porównanie liczby uderzeń kropli ma sens dopiero po przeliczeniu na ten sam czas. Tutaj rolę wspólnej miary pełni sekunda. Rachunek można przeprowadzić także w minutach, pod warunkiem konsekwencji: 360 i 120 impulsów na minutę dają 240 impulsów na minutę, czyli 4 s⁻¹.

C_{b\to s}=240\frac{300}{120}=600,\qquad C_{\mathrm{netto}}=1800-600=1200.

600 jest oczekiwanym wkładem tła w czasie 300 s na podstawie drugiego pomiaru. Nie twierdzimy, że z pierwotnych 1800 impulsów umiemy wskazać palcem konkretne 600. Rozdzielenie jest statystyczne; w zadaniu pomijamy jego fluktuacje.

Dlaczego dzielimy przez 0,20?

Wydajność 0,20 oznacza w tym modelu średnio jedno zliczenie na pięć przemian. Aby otrzymać 1200 zliczeń przypisanych źródłu, potrzeba średnio 6000 przemian w ciągu 300 s. Stąd 6000/300 = 20 Bq. Skrócony rachunek 4/0,20 daje to samo, ale rozpisanie zdarzeń ułatwia zapamiętanie kierunku poprawki.

Błędne mnożenie 4 · 0,20 dałoby 0,8 Bq. Taka aktywność przy podanej wydajności wytwarzałaby tylko 0,16 zliczenia na sekundę po odjęciu tła. Wynik nie odtworzyłby pomiaru. Błędne odjęcie surowych liczb daje z kolei (1800 − 240)/300 = 5,2 s⁻¹ i 26 Bq: odjęto za mało tła.

Zmiana jednego warunku

Jeżeli dla tego samego źródła wydajność spadłaby do 0,10, przy niezmienionym tle oczekiwalibyśmy 20 · 0,10 + 2 = 4 zliczeń na sekundę, czyli 1200 w 300 s. Po prawidłowej korekcie wynik aktywności nadal wynosiłby 20 Bq. Spadek zliczeń nie musi oznaczać rozpadu połowy źródła; może pochodzić ze zmiany warunków rejestracji.

Warto oddzielić teraz odpowiedź wymaganą w zadaniu od rozszerzenia. Zadanie każe pominąć fluktuacje, więc 20 Bq kończy rozwiązanie. Gdyby do tych samych danych dołączyć model niezależnych zliczeń Poissona i dokładną wydajność, otrzymalibyśmy u(r) ≈ 0,191 s⁻¹ i u(R) ≈ 0,96 Bq. Niepewności nie dopisujemy jako poprawki zmieniającej 20 na 19,04; opisuje ona rozrzut estymaty.

Powiązana teoria

Tło i wydajność: co mierzy licznik

Dalsza lektura

Materiał referencyjny