Podział 5,40 MeV między alfę i ciężkie jądro
Spoczywające jądro w modelowym rozpadzie dwuciałowym uwalnia Q=5{,}40\,\mathrm{MeV}. Masy produktów przyjmij jako m=4\,\mathrm{u} i M=206\,\mathrm{u}. Oblicz energie kinetyczne w przybliżeniu nierelatywistycznym. Produkty nie pozostają wzbudzone i nie emitują dodatkowego fotonu.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Lżejsza cząstka otrzymuje ułamek M/(M+m) całej energii.
Rozwiązanie
Pęd narzuca nierówny podział energii
Początkowy spoczynek zapewnia równe przeciwne pędy produktów. Przy masach 4 i 206 u energia przypada odwrotnie do mas. Wspólna jednostka masy skraca się w ułamkach.
T_m=5{,}40\frac{206}{210}\,\mathrm{MeV}\simeq5{,}297\,\mathrm{MeV}
T_M=5{,}40\frac4{210}\,\mathrm{MeV}\simeq0{,}103\,\mathrm{MeV}
Suma wynosi 5,40 MeV. Odrzut nie znika; jest niewielki dlatego, że drugi produkt ma znacznie większą masę. Dodatkowe cyfry zachowano, aby uwidocznić podział modelowej energii.
Odpowiedź: około 5,297 MeV dla cząstki alfa i 0,103 MeV dla jądra potomnego.
Dwie kontrole i zakres
Suma odtwarza Q, a stosunek energii przed zaokrągleniem wynosi 206/4. Mniejsza energia odrzutu nie jest zerowa. Założenia wykluczają dodatkowy foton i wzbudzenie, które odebrałyby część tej energii.
Rozwiązanie bez gotowego wzoru na podział
Oznaczmy energię odrzutu ciężkiego jądra przez x. Ponieważ pędy mają tę samą wartość, energia lżejszej cząstki jest 206/4 = 51,5 razy większa, czyli wynosi 51,5x. Suma daje 52,5x = 5,40 MeV. Stąd x = 0,102857… MeV i 51,5x = 5,297142… MeV.
Ten zapis dobrze ujawnia częsty błąd. Jeśli większej masie przypiszemy większą część Q, otrzymamy poprawną sumę energii, ale nie zachowamy równości pędów. Suma jest potrzebną kontrolą, lecz sama nie wystarcza. Sprawdzamy także mTₘ = MTᴍ, bo obie strony są równe p²/2.
Jaki jest błąd pominięcia odrzutu?
Ciężkie jądro otrzymuje ułamek 4/210 = 0,0190476… całej energii, czyli około 1,905%. Gdybyśmy przyjęli Tₘ = Q, zawyżylibyśmy energię alfy o 0,102857 MeV. Względem jej prawidłowej energii jest to 4/206 ≈ 1,942%. Te dwie wartości procentowe nie są sprzeczne: mają inne mianowniki.
Wygodnie zmienić jednostkę odrzutu na keV: 0,102857 MeV = 102,857 keV. Odrzut pozostaje dodatni i całkiem konkretny, chociaż na wykresie całego Q zajmuje krótki odcinek. Powiększona podziałka nie oznacza dodatkowej energii.
Sprawdź założenie o małych szybkościach
Przyjmując do oszacowania 1 uc² ≈ 931,5 MeV, mamy mc² ≈ 3726 MeV i Mc² ≈ 191889 MeV. Ilorazy energii kinetycznej do spoczynkowej to około 0,00142 i 0,000000536. Dla obu produktów są małe; dla lekkiego warunek jest mniej mocny, więc jego należy sprawdzić szczególnie uważnie.
\frac{v_m}{c}\approx\sqrt{\frac{2T_m}{mc^2}}\approx0{,}0533,\qquad \frac{v_M}{c}\approx0{,}00104.
Nie jest to dowód dokładności dowolnej liczby cyfr. To uzasadnienie użycia modelu nierelatywistycznego wskazanego w zadaniu. Dodatkowe założenia o braku fotonu i wzbudzenia nadal są potrzebne: mała szybkość sama nie gwarantuje, że całe podane Q trafiło do tych dwóch energii ruchu.
Powiązana teoria
Podział energii w rozpadzie dwuciałowym
Dalsza lektura
Sprawdź udział energii odrzutu
Najpierw przewiduj: Porównaj udział energii ciężkiego jądra w Q z jej stosunkiem do energii alfy. Dlaczego te procenty są różne?
Dla m = 4 u, M = 206 u i Q = 5,4 MeV w przybliżeniu nierelatywistycznym otrzymujemy 5,297143 i 0,102857 MeV. Odrzut stanowi około 1,904762% Q, lecz około 1,941748% energii alfy. To różne mianowniki.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
Układ początkowy spoczywa; powstają dokładnie dwa masywne produkty o końcowych masach spoczynkowych m i M. Q oznacza energię dostępną na ich ruch po odjęciu ewentualnej energii wzbudzenia. Nie ma dodatkowego fotonu ani trzeciego produktu. Nierelatywistycznie E_1=Q\frac{M}{m+M},\quad E_2=Q\frac{m}{m+M}.
Dla a = mc² i b = Mc² dokładne energie kinetyczne wynoszą E_1=\frac{Q(2b+Q)}{2(a+b+Q)},\quad E_2=\frac{Q(2a+Q)}{2(a+b+Q)}. Obie dają tę samą wartość pc = √[E(E + 2mc²)], lecz różne prędkości. Przyjmujemy 1 u · c² = 931,49410242 MeV. Na wykresie zmienia się M przy ustalonych m i Q.
Porównanie liczb pokazuje błąd przybliżenia; nie wprowadzamy arbitralnej granicy, poniżej której wzór klasyczny miałby być dokładny. W tej skali obie krzywe mogą niemal się pokrywać. Wartości prędkości odnoszą się do układu spoczynkowego rodzica; po zmianie układu odniesienia podział energii wygląda inaczej.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto