Fale stojące na strunie i w słupie powietrza

Potrzebne wiadomości: Fala biegnąca, długość fali, częstotliwość i superpozycja.

Fala, której grzbiet nie wędruje

Szarpnięta struna nie wykonuje jednego, prostego ruchu. Zaburzenie biegnie do zamocowania, odbija się i spotyka z falą biegnącą w przeciwną stronę. Dla niektórych częstotliwości powstaje trwały układ miejsc, które silnie drgają, i miejsc nieruchomych. Takie częstotliwości wybierają warunki na końcach struny, a nie dowolnie wybrany wzór.

Najpierw odróżnijmy dwa obrazy. W fali biegnącej przesuwa się kształt zaburzenia. W idealnej fali stojącej położenia węzłów pozostają stałe, a odcinki pomiędzy nimi zmieniają wychylenie. Struna jest nadal aktywna: gdy przechodzi przez linię równowagi, jej punkty mogą poruszać się najszybciej. Prosta linia na zdjęciu nie oznacza więc braku energii.

Węzły i strzałki

Nałożenie dwóch sinusoidalnych fal o jednakowej amplitudzie i częstotliwości, biegnących w przeciwnych kierunkach, może utworzyć falę stojącą. Węzły są miejscami zerowej amplitudy, a strzałki — miejscami amplitudy największej. Odległość sąsiednich węzłów wynosi λ/2, natomiast odległość węzła od najbliższej strzałki λ/4.

Jak suma dwóch fal daje nieruchome węzły?

Wybierzmy początek osi w węźle i zapiszmy dwie składowe: A sin(kx − ωt) oraz A sin(kx + ωt). Ich suma, po użyciu wzoru na sumę sinusów, jest równa y(x,t)=2A\sin(kx)\cos(\omega t). Liczba k = 2π/λ opisuje zmienność w przestrzeni, a ω = 2πf zmienność w czasie. W tym szczególnym układzie obie zależności dają się rozdzielić.

Dla ustalonego x czynnik 2A sin(kx) określa amplitudę ze znakiem; fizyczna amplituda jest jego wartością bezwzględną. Jeśli sin(kx) = 0, wychylenie jest zerowe w każdej chwili. Jeśli tylko cos(ωt) = 0, cała struna właśnie przechodzi przez równowagę. To różne powody zera. Sąsiednie odcinki między węzłami drgają przeciwnie: gdy jeden wygina się w górę, drugi w dół.

Struna zamocowana na obu końcach

Na każdym zamocowanym końcu musi znajdować się węzeł wychylenia. Na długości L mieści się więc całkowita liczba połówek długości fali:

L=n\frac{\lambda_n}{2},\qquad f_n=\frac{nv}{2L},\qquad n=1,2,3,\ldots

v oznacza prędkość fal biegnących na strunie. Dla n = 1 otrzymujemy częstotliwość podstawową. Następne częstotliwości są jej całkowitymi wielokrotnościami w idealnym modelu struny. Zmiana sposobu zamocowania zmienia warunki, a więc i dozwolone częstotliwości.

Słup powietrza

Przy otwartym końcu idealizowanej rury występuje strzałka przemieszczenia powietrza i węzeł zmian ciśnienia. Przy końcu zamkniętym jest odwrotnie. Trzeba zatem zawsze powiedzieć, czy rysunek przedstawia przemieszczenie, czy ciśnienie.

Dla rury otwartej z obu stron otrzymujemy f_n = nv/(2L). Dla rury zamkniętej na jednym końcu i otwartej na drugim długość zawiera nieparzystą liczbę ćwiartek fali:

f_k=\frac{(2k-1)v}{4L},\qquad k=1,2,3,\ldots

W drugim przypadku kolejne częstotliwości wynoszą f₁, 3f₁, 5f₁. Drugim modem jest trzecia harmoniczna, nie druga harmoniczna. Pomijamy poprawkę końcową, straty oraz wpływ geometrii otworu.

Przykład

Struna o długości 1 m, na której fala biegnie z prędkością 100 m/s, ma częstotliwość podstawową 50 Hz. Drugi mod ma 100 Hz i dodatkowy węzeł w połowie długości. Położenia węzłów się nie przemieszczają, choć punkty między nimi drgają. Nie należy wstawiać do v = λf prędkości ruchu pojedynczego punktu struny — v jest prędkością rozchodzenia się fali.

Co zmienić, żeby uzyskać wyższy dźwięk?

Dla napiętej, jednorodnej struny przy małych wychyleniach prędkość fal wynosi v=\sqrt{F/\mu}, gdzie F jest siłą napięcia, a μ masą przypadającą na metr długości. Stąd f₁ = √(F/μ)/(2L). Skrócenie drgającego fragmentu o połowę podwaja częstotliwość podstawową. Podwojenie napięcia struny nie podwaja częstotliwości: daje czynnik √2. Do podwojenia częstotliwości przy tej samej długości i μ potrzebujemy czterokrotnie większego F.

Sprawdźmy konkretnie: L = 0,80 m, μ = 0,0050 kg/m i F = 80 N dają v ≈ 126,5 m/s, a f₁ ≈ 79,1 Hz. Przy F = 320 N prędkość rośnie do około 253,0 m/s i f₁ do 158,1 Hz. Przy samym skróceniu tej pierwszej struny do 0,40 m otrzymalibyśmy tę samą częstotliwość 158,1 Hz, choć mechanizm zmiany byłby inny.

Dwie częstotliwości pozwalają rozpoznać rurę

Odwróćmy zadanie. W idealnym słupie powietrza zmierzono dwa kolejne mody własne: 150 Hz oraz 250 Hz. Szybkość dźwięku wynosi 340 m/s. Czy rura jest otwarta z obu stron, czy zamknięta z jednej? I jaką ma długość? Założenie o kolejnych modach jest ważne: słaby albo niewzbudzony rezonans można w prawdziwym pomiarze przeoczyć.

W obu rozważanych modelach odstęp między kolejnymi modami wynosi v/(2L). Wynosi on tutaj 100 Hz, zatem L=340/(2·100)=1,70 m. To jednak dopiero połowa odpowiedzi. Dla rury otwartej z obu stron dostalibyśmy częstotliwości 100, 200, 300… Hz. Liczba 150 nie należy do tego szeregu. Dla rury zamkniętej z jednej strony częstotliwość podstawowa wynosi v/(4L)=50 Hz, a dozwolone częstotliwości to 50, 150, 250, 350… Hz. Właśnie ten model pasuje do danych.

f_2=3f_1=150\ \mathrm{Hz},\qquad f_3=5f_1=250\ \mathrm{Hz}.

Indeksy po lewej numerują kolejne dozwolone mody; liczby 3 i 5 oznaczają harmoniczne częstotliwości podstawowej. Drugi mod nie musi być drugą harmoniczną. Rysunek pozwala zobaczyć, dlaczego pomieszanie tych dwóch numeracji daje złą odpowiedź.

Kontrola modelu polegałaby na poszukaniu rezonansu około 50 Hz albo 350 Hz. Gdyby zmierzone odstępy nie były równe, należałoby sprawdzić m.in. rozpoznanie modów i poprawki związane z końcami rury. Nie dobieramy wtedy długości osobno do każdej częstotliwości, żeby na siłę uzyskać zgodność.

Zadania do tego tematu

• Fala stojąca — zadanie: trzeci mod struny
• Rezonans powietrza — zadanie: rura zamknięta z jednej strony

Dalsza lektura

Materiał referencyjny