Pomiar Dopplera: chwile nadejścia, okres i nieznane prędkości

Potrzebne wiadomości: Częstotliwość i okres, ruch jednostajny, podstawowy efekt Dopplera oraz przekształcanie równań liniowych.

Co mierzy mikrofon?

Wyobraź sobie głośnik na wózku i mikrofon jadący naprzeciw niego. Głośnik wysyła drgania we własnym, stałym rytmie. Mikrofon rejestruje ich nadejścia. Do pomiaru częstotliwości potrzebujemy odstępów między nadejściami, a nie samego opóźnienia pierwszego sygnału.

W tej lekcji powietrze spoczywa. Oś x kierujemy od początkowego położenia źródła w stronę odbiornika. Źródło zaczyna w x = 0, odbiornik w x = D > 0. Prędkości vₛ i vₒ są składowymi ze znakiem względem powietrza. Dodatnia oznacza ruch w prawo. Przez cały rozpatrywany pomiar źródło pozostaje po lewej. Nie opisujemy chwili minięcia, ruchu ukośnego ani zmiany tonu głośnika.

Jedno zdarzenie emisji, jedno zdarzenie odbioru

Oznaczmy okres emitowany jako Tₛ = 1/fₛ. Front o numerze n wysłano w chwili nTₛ z miejsca vₛnTₛ. W chwili t jego prawy kraniec znajduje się w x = vₛnTₛ + c(t − nTₛ), gdzie c jest tutaj prędkością dźwięku. Odbiornik jest w x = D + vₒt. Zrównujemy położenia tego samego frontu i odbiornika:

v_s nT_s+c(t_n-nT_s)=D+v_o t_n.

Porządkujemy wyrazy z tₙ i z numerem frontu:

(c-v_o)t_n=D+(c-v_s)nT_s,\qquad t_n=\frac{D}{c-v_o}+nT_s\frac{c-v_s}{c-v_o}.

To równanie rozdziela dwa składniki zapisu. Pierwszy, t₀ = D/(c − vₒ), jest opóźnieniem dotarcia początku sygnału. Drugi mówi, o ile później nadejdzie każdy kolejny front. Odległość D zmienia opóźnienie, ale przy stałych prędkościach nie zmienia odstępu kolejnych nadejść:

T_o=t_{n+1}-t_n=T_s\frac{c-v_s}{c-v_o},\qquad f_o=f_s\frac{c-v_o}{c-v_s}.

Jednostki w pierwszym składniku to m/(m/s) = s. Iloraz prędkości w drugim jest bezwymiarowy, więc mnoży okres, nie zastępuje go. Jeżeli vₛ = vₒ, dostajemy Tₒ = Tₛ, chociaż dźwięk nadal potrzebuje czasu, aby pokonać odstęp między urządzeniami.

Jak liczyć okresy na nagraniu

Zaznaczmy N kolejnych maksimów, od pierwszego do ostatniego włącznie. Między nimi jest N − 1 odstępów. Gdy pierwszy i ostatni znacznik mają czasy tₐ i tᵦ, średni okres i odpowiadającą mu częstotliwość obliczamy tak:

\overline T_o=\frac{t_b-t_a}{N-1},\qquad f_o=\frac{N-1}{t_b-t_a}.

Na przykład 21 kolejnych maksimów od 30,0 do 50,0 ms obejmuje 20 okresów w czasie 20,0 ms. Wynik wynosi 1,00 ms i 1000 Hz. Podzielenie 21 przez 0,020 s dałoby błędne 1050 Hz. Jeśli zamiast od pierwszego do ostatniego maksimum liczymy impulsy w niezależnie wybranym oknie czasu, wynik N/Δt jest innym estymatorem i zależy także od ucięcia cykli na obu brzegach okna.

Dłuższy zapis zmniejsza względny wpływ tego samego błędu zaznaczenia końców, ale nie usuwa zmiany prędkości ani dryfu generatora. Jeśli odstępy kolejnych maksimów wyraźnie rosną, jeden średni okres ukrywa tę zmianę. Wtedy najpierw oglądamy odstępy lokalne i wracamy do założeń ruchu jednostajnego.

Jedna częstotliwość nie wyznacza dwóch prędkości

Po zmierzeniu fₒ i znajomości fₛ oraz c otrzymujemy jedno równanie z dwiema nieznanymi vₛ i vₒ. Przestawiając wyrazy, możemy zapisać vₒ = c − (fₒ/fₛ)(c − vₛ). Każde dopuszczalne vₛ wyznacza inne vₒ. Wynik nie musi wskazywać jednej pary.

Dodatkowy pomiar długości fali na prawo od źródła rozdziela problem. Z λ₊ = (c − vₛ)/fₛ otrzymujemy vₛ = c − fₛλ₊. Następnie z fₒ = (c − vₒ)/λ₊ dostajemy vₒ = c − fₒλ₊. Długość fali mierzymy w przestrzeni w tej samej chwili, a okres odbioru w czasie wzdłuż ruchu mikrofonu. Nie są tym samym pomiarem.

Spróbuj w pracowni

Otwórz model frontów Dopplera. Zapisz próbę przy nieruchomym odbiorniku, a następnie zmień tylko jego prędkość. Sprawdź, że zmienia się Tₒ, choć λ₊ pozostaje takie samo. W modelu początkowa odległość wynosi D = 9c/fₛ; zmiana częstotliwości zmienia również tę odległość. Porównując próby, czytaj oba odczyty.

Pomiar długości zapisu a niepewność częstotliwości

Dla dokładnie policzonych N kolejnych maksimów f_o=(N-1)/\Delta t. Przy małej niepewności czasu względna niepewność wynosi w pierwszym rzędzie u(fₒ)/fₒ≈u(Δt)/Δt. Jeśli niepewność zaznaczenia każdego z dwóch niezależnych końców wynosi 0,10 ms, to u(Δt)=√2·0,10 ms≈0,141 ms. Dla zapisu 20,0 ms daje to około 0,707%. Dłuższy zapis ogranicza ten względny wpływ, ale tylko jeśli wciąż mierzymy stały rytm. Pominięcie całego maksimum zmienia liczność i nie jest tym samym co mała niepewność zaznaczenia czasu.

Zadania do tego tematu

• Doppler z zapisu czasu — piętnasty odebrany front
• Doppler z nagrania — 21 maksimów i szybkość źródła
• Jedna częstotliwość — dwa różne ruchy

Dalsza lektura

Materiał referencyjny