Dwa czasy zatrzymania tego samego wózka

Rozwiązanie

Oba hamowania mają te same stany krańcowe

Masa 4 kg i początkowa szybkość 2 m/s są jednakowe w obu wariantach. Wybierzmy dodatni zwrot początkowego ruchu. Pęd początkowy wynosi 8 kg·m/s, końcowy zero, więc wymagany impuls wypadkowy jest równy −8 N·s. Brak odbicia jest ważny: po odbiciu zmiana pędu miałaby inną wartość.

Średnie siły i energia

F_{1,\mathrm{sr}}=\frac{-8}{0{,}10}=-80\ \mathrm N,\qquad F_{2,\mathrm{sr}}=\frac{-8}{0{,}40}=-20\ \mathrm N.

Pytanie prosi o wartości, więc podajemy 80 N i 20 N, oba zwroty przeciwne ruchowi. Energia początkowa wynosi mv²/2 = 8 J, końcowa zero. Jej zmiana ma zatem wartość −8 J niezależnie od czasu zatrzymania.

Wynik i jego znaczenie

Wartość impulsu hamującego wynosi 8 N·s. Średnie siły mają wartości 80 N i 20 N. Początkowa energia kinetyczna to 4\cdot2^2/2=8 J, więc w obu przypadkach maleje o 8 J. Czterokrotne wydłużenie czasu zmniejszyło średnią siłę cztery razy, ale nie zmniejszyło energii, którą trzeba było rozliczyć.

Dłuższe hamowanie nie usuwa obowiązku rozliczenia energii

Czterokrotnie dłuższy czas zmniejszył średnią siłę czterokrotnie. Nie zmniejszył impulsu ani ubytku energii kinetycznej. Jeśli dodatkowo założyć jednostajne hamowanie, średnia szybkość wyniesie 1 m/s, a drogi będą 0,10 m i 0,40 m. Prace −80·0,10 i −20·0,40 dadzą po −8 J. To kontrola dla prostego dodatkowego modelu, nie dowód, że rzeczywiste siły muszą być stałe. Z podanych czasów i pędów znamy średnie siły, ale nie ich maksymalne wartości ani pełny przebieg w trakcie kontaktu.

Czy mniejsza średnia gwarantuje mniejszą siłę szczytową?

Nie wynika to z samych podanych danych. Siła mogłaby przez większość czasu być mała, a przez krótki fragment bardzo duża, zachowując ten sam impuls. Aby porównać maksima, potrzebujemy kształtu wykresów siły w czasie albo dodatkowego modelu kontaktu. Wniosek z zadania dotyczy średnich 80 N i 20 N. Wydłużenie kontrolowanego hamowania często służy zmniejszeniu obciążeń, ale matematycznie sama informacja o średniej nie narzuca przebiegu każdej chwilowej wartości.

Porównujemy dwa hamowania, nie siły działające równocześnie. Składowa −20 N jest liczbowo większa od −80 N, lecz ma mniejszą wartość bezwzględną. Kliknij rysunek, aby odczytać go w pełnym rozmiarze.

Powiązana teoria

Impuls siły: zmiana pędu wymaga uwzględnienia zwrotu

Dalsza lektura

Materiał referencyjny