Pracownia: zależność okresu od sztywności sprężyny

Potrzebne wiadomości: Prawo Hooke’a, okres drgań i kontrola zmiennych.

Co mierzymy i co pozostawiamy stałe?

Sztywność sprężyny, nazywana też współczynnikiem sprężystości, określa, jak duży przyrost siły jest potrzebny do uzyskania danego przyrostu wydłużenia. Oznaczamy ją literą k i podajemy w N/m. Większe k oznacza większy przyrost siły przy takim samym dodatkowym wydłużeniu. Sama długość nieobciążonej sprężyny nie wyznacza jej sztywności.

W tej pracowni chcemy zbadać wpływ k na okres T, czyli czas jednego pełnego drgania. Porównujemy lekkie sprężyny, zachowując tę samą zawieszoną masę, włącznie z uchwytem. Osobna seria ze stałą sprężyną i różnymi masami bada wpływ m. Zmiana jednocześnie masy i sprężyny nie pozwala przypisać wyniku tylko jednemu z tych czynników.

Sprężyny zamocuj kolejno na stabilnym statywie. Pod nadzorem dobierz niewielkie zabezpieczone obciążenia i sprawdź, czy żaden element nie spadnie przy ruchu. Nie przekraczaj dopuszczalnego obciążenia ani zakresu sprężystości. Pomiar wykonuj od strony podziałki, ograniczając błąd paralaksy. Odnotuj użyty uchwyt, masę, sprężynę i sposób wyznaczenia jej wydłużenia.

Kalibracja: od tabeli do nachylenia

Najpierw wykonujemy pomiar statyczny. Po ustaniu ruchu odczytaj położenie tego samego końca sprężyny dla kilku sił. Wydłużenie x mierzymy względem położenia bez obciążenia. Siłę ustal z mas i przyjętego g albo ze sprawdzonego siłomierza. W liniowym zakresie nachylenie wykresu F(x) daje k. Jeśli układ ma przesunięcie zera, do porównania przydatny jest zapis F=kx+F_0, w którym F₀ jest wyrazem stałym.

Odejmujemy równania dwóch punktów: F_2-F_1=k(x_2-x_1),\qquad k=\frac{\Delta F}{\Delta x}=\frac{0{,}40\ \mathrm{N}}{0{,}020\ \mathrm{m}}=20\ \mathrm{N/m}. Gdy wydłużenie zwiększa się o 0,020 m, siła zwiększa się o 0,40 N. Nie dzielimy dowolnie wybranych współrzędnych punktu bez sprawdzenia położenia zera.

Stałe przesunięcie odczytu długości o b znika w różnicy: (x₂+b)−(x₁+b)=x₂−x₁. Mnożnik skali pozostaje. Jeżeli linijka zawyża każdą długość o 5%, wskazuje również przyrost 1,05 razy za duży, a wyznaczone k jest 1/1,05 razy prawdziwe. Powtarzanie odczytów nie usuwa tego błędu przyrządu.

Zapisz kilka punktów przy dokładaniu i zdejmowaniu obciążenia. Porównaj wyniki dla tej samej siły. Rozbieżność może wskazywać tarcie w mocowaniu, histerezę albo przekroczenie użytecznego zakresu modelu. Dwie współrzędne zawsze wyznaczają prostą, więc same nie sprawdzają liniowości. Zachowaj odczyty i opisz odstające wyniki; nie usuwaj ich tylko dlatego, że pogarszają zgodność.

Wydłużenie, równowaga i amplituda

W pionowym ustawieniu ciężar przesuwa równowagę. Dla modelu lekkiej sprężyny obciążonej masą m zachodzi mg=kx_0,\qquad x_0=\frac{mg}{k}. Symbol x₀ oznacza statyczne wydłużenie względem sprężyny nieobciążonej. Wychylenie y liczymy od nowej równowagi, a amplituda A jest największą wartością bezwzględną tego wychylenia.

Przyjmijmy zwrot w dół jako dodatni. Chwilowe wydłużenie wynosi x₀+y, więc siła wypadkowa działająca na ciężarek jest równa F_{\mathrm{w}}=mg-k(x_0+y)=-ky. Stały ciężar skraca się z siłą sprężystości w położeniu równowagi. Ruch względem tej równowagi opisuje więc siła proporcjonalna do wychylenia i skierowana przeciwnie. Dla tego modelu T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.

Dla m=0,20 kg, g=10 m/s² i k=20 N/m otrzymamy x₀=0,10 m. Jeśli amplituda wynosi 0,020 m, w dolnym zwrocie sprężyna jest wydłużona o 0,120 m, a nie o samo 0,020 m. W równowadze ciężarek może poruszać się najszybciej: zerowa siła wypadkowa w tej chwili nie oznacza zerowej prędkości.

Jak zmierzyć pełne okresy?

Na każdej sprężynie zawieś ten sam uchwyt z odważnikiem i poczekaj na ustalenie położenia równowagi. Odchyl ciężarek niewiele od tego położenia, zachowując ruch pionowy. Puść bez dodatkowego pchnięcia. Równych amplitud nie odmierzamy od długości nieobciążonych sprężyn: każda ma własną równowagę.

1. Wybierz łatwy do rozpoznania punkt, na przykład przejście przez równowagę w dół. Pierwsze takie przejście oznacz jako zero i uruchom pomiar czasu.
2. Zlicz dziesięć kolejnych przejść przez to samo miejsce w tym samym kierunku. Zatrzymaj pomiar przy dziesiątym powrocie. Przejście przez równowagę w przeciwnym kierunku następuje po połowie okresu.
3. Zapisz czas t₁₀ i oblicz T=t₁₀/10. Wykonaj co najmniej trzy niezależne serie po ponownym puszczeniu. Zapisz wszystkie wyniki, ich rozrzut, przyjęty sposób oceny niepewności oraz rozdzielczość stopera.

Przykład modelowy, nie zapis pomiarów: t₁₀=12,1 s; 11,9 s; 12,0 s. Średni czas to 12,0 s, a okres \overline{T}=\frac{\overline{t}_{10}}{10}=\frac{12{,}0\ \mathrm{s}}{10}=1{,}20\ \mathrm{s}. Gdy oszacowany wkład startu i zatrzymania wynosi 0,2 s dla całej serii, odpowiada on 0,02 s dla jednego okresu. To tylko ten wkład, nie automatyczna pełna niepewność T.

Dłuższa seria zmniejsza względny wpływ obsługi stopera, o ile liczba cykli jest poprawna i ruch nadal odpowiada modelowi. Nie usuwa błędnego liczenia, zmiany uchwytu, stałego błędu przyrządu ani wpływu masy sprężyny. Gdy tłumienie szybko zmniejsza amplitudę albo zmienia się charakter ruchu, nie wydłużaj serii bez sprawdzenia tych warunków.

Dwie serie rozdzielające wpływy

Seria mas: jedna sprężyna i kilka znanych mas całego zawieszonego zestawu. Seria sztywności: ten sam uchwyt i masa, a sprężyny o wcześniej wyznaczonych k. W obu zachowujemy małe porównywalne amplitudy, to samo kryterium liczenia, sposób puszczania i położenie skali. Po zmianach wróć do konfiguracji początkowej: rozbieżny wynik może ujawnić przemieszczenie mocowania lub zmianę sprężyny.

Dla dwóch ustawień ten sam model daje \frac{T_2}{T_1}=\sqrt{\frac{m_2/m_1}{k_2/k_1}}. Przy tej samej masie i k₂=4k₁ okres maleje dwukrotnie. Przy tej samej sprężynie i m₂=4m₁ rośnie dwukrotnie. Gdy oba czynniki zwiększymy czterokrotnie, ich iloraz i okres pozostaną bez zmian.

Przy stałej masie T^2=4\pi^2m\frac{1}{k}. Wykres T² od 1/k powinien być prostą o nachyleniu 4π²m, a wykres T od 1/k będzie krzywą. Dla osobnego przykładu m=0,20 kg i k=20 N/m mamy T²≈0,3948 s², T≈0,628 s. Przy k=80 N/m: T²≈0,0987 s², T≈0,314 s. Te liczby dotyczą poniższego przykładu, nie zadania z okresem 1,2 s.

Granice modelu i nowe przewidywanie

Wzór zakłada liniową zależność siły od wydłużenia, małe tłumienie oraz pomijalną masę sprężyny w porównaniu z masą zawieszoną. Do m wliczamy uchwyt i inne części poruszające się razem z odważnikiem. Przy ciężkiej sprężynie potrzebny jest model jej udziału w ruchu i masy efektywnej; sam napis „ten sam odważnik” nie gwarantuje wtedy identycznych warunków. Dwie sprężyny różniące się jednocześnie sztywnością i dużą masą nie izolują wpływu k.

Sprawdź też, czy ruch pozostaje pionowy, mocowanie nie przemieszcza się i sprężyna po odciążeniu wraca do wcześniejszego stanu. Różnice między pomiarem a przewidywaniem opisuj wraz z możliwymi przyczynami. Jeden niezgodny wynik nie dowodzi, że okres nie zależy od sztywności, a wiele powtórzeń nie naprawia systematycznego błędu skali.

Sprawdź inny przypadek: masa wzrasta dziewięciokrotnie, a sztywność czterokrotnie. Zatem \frac{T_2}{T_1}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}: okres rośnie 1,5 razy. Oba czynniki zwiększono, ale ich wpływy nie skompensowały się. W tym modelu niezmieniony okres wymaga zachowania stosunku m/k, a nie samego kierunku zmian obu wielkości.

Zadania do tego tematu

• Kalibracja sztywności sprężyny z dwóch punktów
• Czterokrotnie sztywniejsza sprężyna przy tej samej masie
• Dwie równoczesne zmiany i niezmieniony okres

Dalsza lektura

Materiał referencyjny