Kalibracja sztywności sprężyny z dwóch punktów

Rozwiązanie

Co mówi iloraz przyrostów?

W zakresie liniowym możemy zapisać F₁=kx₁+F₀ i F₂=kx₂+F₀. Odejmowanie usuwa wyraz stały: \Delta F=F_2-F_1=k(x_2-x_1)=k\Delta x. Symbol Δ oznacza zmianę między dwoma punktami. Stąd k=\frac{\Delta F}{\Delta x}=\frac{0{,}40\ \mathrm{N}}{0{,}020\ \mathrm{m}}=20\ \mathrm{N/m}. Odpowiedź: k=20 N/m. Przy dodatkowym wydłużeniu o jeden metr model przewidywałby wzrost siły o 20 N; nie znaczy to, że wolno rzeczywistą sprężynę rozciągnąć aż o metr.

Dodatkowa siła i dodatkowe wydłużenie

W części b korzystamy z tej samej sztywności i pozostajemy w liniowym zakresie. Rozwiązujemy ΔF=kΔx względem Δx: \Delta x=\frac{\Delta F}{k}=\frac{0{,}10\ \mathrm{N}}{20\ \mathrm{N/m}}=0{,}0050\ \mathrm{m}. To 0,0050 m, czyli 5,0 mm. Czterokrotnie mniejszy przyrost siły daje czterokrotnie mniejszy przyrost wydłużenia. Wynik dotyczy przyrostu, nie całkowitej długości sprężyny.

Dlaczego przesunięcie zera znika?

Jeżeli linijka dodaje do każdego odczytu stałe b, po odjęciu otrzymamy (x₂+b)−(x₁+b)=x₂−x₁. Na przykład przesunięcie o 3 mm zmienia 10 mm i 30 mm na 13 mm i 33 mm. Różnica nadal wynosi 20 mm, więc k z przyrostów nie zmieni się. Wniosek zakłada to samo przesunięcie zera przy obu odczytach.

Błąd mnożnika skali pozostaje

W części c linijka zawyża każdą długość o 5%. Wskazana różnica jest więc 1,05 razy rzeczywista: \widehat{k}=\frac{\Delta F}{1{,}05\Delta x_{\mathrm{rzecz}}}=\frac{k_{\mathrm{rzecz}}}{1{,}05}\approx0{,}95238\,k_{\mathrm{rzecz}}. Wyznaczone k jest około 4,76% za małe. Różnice usuwają stały dodatek, ale nie usuwają mnożnika skali.

To osobny wariant błędu przyrządu: gdyby wyznaczone 20 N/m pochodziło z takiej zawyżającej linijki, po uwzględnieniu znanego mnożnika otrzymalibyśmy k rzeczywiste =1,05·20 N/m=21 N/m. W pierwotnych danych nie podano takiego błędu, więc ich odpowiedzią pozostaje 20 N/m.

Jak sprawdzić, czy wynik ma sens?

Wykonaj kilka odczytów przy dokładaniu i zdejmowaniu obciążenia. Punkty powinny być zgodne z linią w przyjętym zakresie z uwzględnieniem niepewności. Różne wydłużenia przy tej samej sile mogą wskazywać histerezę, tarcie w mocowaniu albo zmianę sprężyny. Dwa punkty nie wystarczą do potwierdzenia liniowości, a więcej cyfr w ilorazie nie zastąpi sprawdzenia skali przyrządu.

Powiązana teoria

Pracownia: zależność okresu od sztywności sprężyny

Dalsza lektura

Materiał referencyjny