Czterokrotnie sztywniejsza sprężyna przy tej samej masie

Rozwiązanie

Najpierw stosunek, potem liczby

Dla lekkiej sprężyny w przyjętym modelu T=2π√(m/k). Dzieląc dwa okresy, skracamy wspólny czynnik 2π: \frac{T_2}{T_1}=\sqrt{\frac{m_2/m_1}{k_2/k_1}}. Ta postać pozwala jawnie sprawdzić, które wielkości się zmieniają. W pierwszej części m₂=m₁, a k₂=4k₁, więc \frac{T_2}{T_1}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2},\qquad T_2=\frac{1{,}2\ \mathrm{s}}{2}=0{,}60\ \mathrm{s}. Odpowiedź: T₂=0,60 s. Czterokrotnie większa sztywność skraca okres dwukrotnie, ponieważ we wzorze występuje pierwiastek.

Kwadrat okresu i jego jednostka

Podnosimy do kwadratu zarówno liczbę, jak i jednostkę: T_1^2=(1{,}2\ \mathrm{s})^2=1{,}44\ \mathrm{s^2},\qquad T_2^2=(0{,}60\ \mathrm{s})^2=0{,}36\ \mathrm{s^2}. Otrzymujemy 1,44 s² oraz 0,36 s². T² maleje czterokrotnie, podczas gdy T maleje dwukrotnie. Przy stałej masie T² jest proporcjonalne do 1/k, dlatego taki wybór osi daje linię prostą.

Osobny wariant: zmienia się też masa

W części c druga sprężyna nadal ma k₂=4k₁, lecz teraz używamy m₂=4m₁. Podstawiamy oba czynniki: \frac{T_2}{T_1}=\sqrt{\frac{4}{4}}=1. Okres wynosi znowu 1,2 s. To inne porównanie niż dwie sprężyny przy jednakowej masie. Równego wyniku nie można użyć jako dowodu, że zmiana sztywności nie ma wpływu.

W doświadczeniu masa efektywna musi obejmować uchwyt i odpowiedni udział ruchomych części. Ten sam odważnik na dwóch ciężkich sprężynach nie gwarantuje jednakowej masy efektywnej. Tutaj podano jej równość i małe drgania; nie dodajemy nieznanych poprawek do wyniku modelowego.

Nowa sztywność: sprawdzenie zależności

Przy tej samej masie sprężyna dziewięciokrotnie sztywniejsza da \frac{T_3}{T_1}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}, więc T₃=1,2 s/3=0,40 s. To potwierdza sposób użycia pierwiastka. Na wykresie z niezmienioną osią czasu taki ruch wykonałby trzy pełne cykle w 1,2 s.

Powiązana teoria

Pracownia: zależność okresu od sztywności sprężyny

Dalsza lektura

Materiał referencyjny