Moment bezwładności: liczy się także odległość od osi

Potrzebne wiadomości: Energia kinetyczna, ruch po okręgu, suma i kwadrat liczby.

Każdy fragment ma własną szybkość

W bryle sztywnej odległości między punktami pozostają stałe. Przy obrocie wokół nieruchomej osi punkty mają wspólną prędkość kątową, lecz różne szybkości v_i=\omega r_i. Dodanie ich energii daje E_k=\frac12\sum m_i r_i^2\omega^2. Definiujemy I=\sum m_i r_i^2, więc E_k=I\omega^2/2. Jednostką I jest kg·m², nie kilogram.

Oś jest częścią definicji

Dwa punktowe ciężarki po 0,20 kg umieszczone 0,30 m od osi dają I=0,036 kg·m². Przesunięcie obu na 0,60 m zwiększa I czterokrotnie, mimo tej samej całkowitej masy. Dla rozciągłej bryły sumę zastępuje całka. Cienka obręcz ma I=mR^2, pełna jednorodna tarcza I=mR^2/2 względem osi symetrii. Materiał bliżej osi wnosi mniej.

Równoległe osie

Twierdzenie Steinera ma postać I=I_C+md^2. Oś C musi przechodzić przez środek masy i być równoległa do nowej osi, a d jest odległością między osiami. Nie wolno przenosić dowolnej osi na inną przez samo dodanie md². Moment bezwładności zależy od geometrii, ale nie od aktualnej szybkości obrotu, dopóki bryła nie zmienia kształtu.

Skąd bierze się kwadrat odległości?

Weźmy sztywną konstrukcję z lekkiego pręta i dwóch obciążników. Gdy obracamy ją wokół środka, oba ciężarki kończą obrót w tym samym czasie. Ten położony dalej od osi musi jednak przebyć większy okrąg. Dla wspólnej prędkości kątowej ω jego szybkość liniowa wynosi ωr. Energia kinetyczna zależy od kwadratu szybkości, więc wkład ciężarka w energię obrotu jest proporcjonalny do r². To źródło kwadratu, a nie umowna komplikacja definicji.

Wielkość I zbiera w jednej liczbie informację o masach i ich odległościach prostopadłych od osi. Nie opisuje tego, czy bryła aktualnie się obraca. Nieruchoma tarcza ma moment bezwładności względem wskazanej osi, tak jak nieruchomy wózek ma masę. Dopiero połączenie I z prędkością kątową pozwala obliczyć energię, a połączenie z przyspieszeniem kątowym — wymagany wypadkowy moment sił. Mylenie tych trzech wielkości usuwa z zadania najważniejszą informację.

Przykład: zmieniamy geometrię, nie masę

Dwa ciężarki po 0,50 kg leżą po przeciwnych stronach osi, po 0,20 m od niej. Ich momenty dodają się, bo r² jest dodatnie po obu stronach: I=2·0,50·0,20²=0,040 kg·m². Nie odejmujemy wkładu lewego ciężarka od prawego. Po odsunięciu obu na 0,40 m otrzymamy 0,160 kg·m², cztery razy więcej. Środek masy nadal jest na osi i całkowita masa nadal wynosi 1 kg.

Jeżeli w obu konfiguracjach narzucimy tę samą ω=5 rad/s, energie wyniosą 0,50 J i 2,0 J. Większe I wymaga większej energii dla tej samej szybkości kątowej. Jeśli zamiast tego zachowany będzie moment pędu swobodnie obracającego się układu, ω zmieni się przy rozsuwaniu ciężarków. To inne warunki doświadczenia. Nie wolno jednocześnie zakładać stałej prędkości kątowej i braku zewnętrznego momentu bez sprawdzenia całego ruchu.

Dlaczego pełna tarcza ma mniejsze I niż obręcz?

W cienkiej obręczy praktycznie cała masa leży w odległości R od osi, więc każdy fragment wnosi właśnie R² razy swoją masę. W jednorodnej tarczy część materiału leży blisko osi i porusza się wolniej. Dzieląc ją na cienkie pierścienie, otrzymujemy dm=2πρₛr dr, gdzie ρₛ=m/(πR²) jest masą na jednostkę pola. Sumowanie wkładów r²dm od 0 doR daje I=2πρₛR⁴/4=mR²/2. Czytelnik bez całek może zapamiętać sens porównania: bliższa osi masa ma mniejszą wagę w sumie mr².

Wyniki dotyczą osi przechodzącej przez środek i prostopadłej do płaszczyzny tarczy. Obrót wokół średnicy jest innym zadaniem. Podanie samego słowa „tarcza” nie określa osi, a podanie samego promienia nie określa rozkładu masy. Warto przy każdym wzorze dopisać mały szkic osi, aby nie korzystać z poprawnego wzoru w nieodpowiedniej konfiguracji.

Przykład: od środka pręta do jego końca

Pręt o masie 3 kg i długości 0,80 m ma względem osi środkowej I_C=mL²/12=0,16 kg·m². Równoległa oś przez koniec jest odsunięta oL/2=0,40 m. Twierdzenie Steinera daje I=0,16+3·0,40²=0,64 kg·m². Dodatni człon 0,48 kg·m² pokazuje, że oś przez środek masy ma najmniejszy moment spośród osi równoległych.

Warunek osi środkowej w twierdzeniu nie jest ozdobą. Gdy rozwiniemy kwadraty odległości po przesunięciu osi, pojawią się wyrazy mieszane. Znikają właśnie dlatego, że suma mas razy współrzędne liczone od środka masy jest zerowa. Do przenoszenia z dowolnej osi na inną trzeba więc najpierw odnieść się do osi środkowej albo bezpośrednio policzyć rozkład mas. Mechaniczne dopisywanie md² do dowolnego znanego I prowadzi do podwójnego liczenia przesunięcia.

Kontrola i krótkie pytanie

Jednostka kg·m² powstaje bezpośrednio z definicji. Dla bryły mieszczącej się w odległości R od osi zachodzi I≤mR²; tarcza spełnia ten warunek, a obręcz go wysyca w idealnym modelu. Sprawdź się: ta sama tarcza zwiększa ω z 5 do 15 rad/s. Odpowiedź: I się nie zmienia, energia rośnie dziewięć razy, a moment pędu trzy razy. Różne potęgi opisują różne wielkości fizyczne.

Jak wyprowadzić twierdzenie Steinera?

Sprawdźmy, dlaczego we wzorze występuje właśnie odległość między osiami. Poprowadźmy obie osie prostopadle do płaszczyzny rysunku. Współrzędne xᵢ, yᵢ mierzmy od środka masy C, a nową oś przesuńmy wzdłuż x o d. Kwadrat odległości i-tego fragmentu od nowej osi wynosi (xᵢ−d)²+yᵢ². Rozwijamy kwadrat przed sumowaniem:

I=\sum_i m_i[(x_i-d)^2+y_i^2]=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)-2d\sum_i m_ix_i+d^2\sum_i m_i.

Pierwsza suma jest równa I_C. Druga znika, bo początek współrzędnych leży w środku masy: Σmᵢxᵢ=0. Ostatnia suma daje całkowitą masę m. Otrzymujemy I=I_C+md². Gdy początek nie leży w środku masy, wyraz mieszany zwykle nie znika — stąd ważny warunek stosowania twierdzenia. Suma mr² jest dodatnia, ale współrzędne xᵢ użyte w wyrazie mieszanym mają znaki. To dwie różne role odległości i współrzędnej.

Zadania do tego tematu

• Dwa obciążniki przesunięte dalej od osi
• Jednorodny pręt obracany wokół końca
• Czy szybsza tarcza ma większy moment bezwładności?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny