Czy szybsza tarcza ma większy moment bezwładności?

Rozwiązanie

Oddzielamy stan ruchu od geometrii

Tarcza pozostaje sztywna i obraca się wokół tej samej osi. Żadna masa nie zmienia odległości od tej osi, więc suma mr², czyli I, pozostaje niezmieniona. Zmiana ω nie jest zmianą rozmieszczenia masy. Bez masy i wymiarów tarczy nie obliczymy liczbowego I, ale do porównania nie jest to potrzebne.

Porównujemy energie ilorazem

Z E=Iω²/2 otrzymujemy E₂/E₁=(15/5)²=9. Wspólny I oraz czynnik 1/2 skracają się. Prędkość kątowa rośnie trzykrotnie, energia dziewięciokrotnie. W obu stanach stosujemy te same jednostki rad/s, więc nie ma dodatkowego przelicznika obrotów na radiany.

Skracamy wspólny moment bezwładności

\frac{I_2}{I_1}=1,\qquad \frac{E_2}{E_1}=\frac{I\omega_2^2/2}{I\omega_1^2/2}=\left(\frac{15\,\mathrm{rad/s}}{5\,\mathrm{rad/s}}\right)^2=9.

Porównujemy dwa stany tej samej bryły względem tej samej osi. Stosunek jest bezwymiarowy. Gdyby wraz ze wzrostem ω tarcza się odkształciła, nie moglibyśmy skrócić obu I bez osobnego sprawdzenia geometrii.

Wynik

Moment bezwładności pozostaje taki sam. Energia rośnie jak kwadrat prędkości kątowej, czyli dziewięciokrotnie. Utożsamienie I z energią prowadziłoby do błędnego wniosku o zmianie rozmieszczenia masy.

Co jeszcze da się powiedzieć?

Moment pędu L=Iω rośnie trzykrotnie. Rozpędzenie tej tarczy wymagało zewnętrznego impulsu momentu sił oraz dodatniej pracy. Przyrost energii to E₂−E₁=8E₁, a nie 9E₁: dziewięć razy większa jest energia końcowa, nie sam przyrost. Ten rodzaj rozróżnienia często rozstrzyga o poprawności odpowiedzi.

Wariant: gdyby ta sama tarcza obracała się z−15 rad/s, energia byłaby nadal dziewięć razy większa, lecz moment pędu miałby przeciwny zwrot. Kwadrat ω usuwa znak w energii, podczas gdy L zachowuje informację o zwrocie. Żaden z tych wariantów nie zmienia I, dopóki nie zmienimy kształtu, masy ani osi.

Dodatkowa kontrola

Można też wyrazić potrzebną pracę przez nieznane I: ΔE=I(15²−5²)/2=100I. Jeśli dla przykładu I=0,20 kg·m², energie wyniosłyby 2,5 J i 22,5 J, a praca 20 J. Nie są to dodatkowe dane zadania, tylko liczbowy sprawdzian proporcji 9:1 i różnicy między energią końcową a jej przyrostem.

Powiązana teoria

Moment bezwładności: liczy się także odległość od osi

Dalsza lektura

Materiał referencyjny