Dwa obciążniki przesunięte dalej od osi

Rozwiązanie

Ustalamy odległość od tej samej osi

Oba ciężarki traktujemy jako punktowe, a masę pręta pomijamy zgodnie z treścią. Każdy wnosi mr², niezależnie od tego, po której stronie osi się znajduje. Znak położenia nie zmienia dodatniego kwadratu odległości. Początkowo każdy wkład wynosi 0,50·0,20²=0,020 kg·m², więc suma jest dwukrotnie większa.

Zmiana konfiguracji

Po odsunięciu każdy wkład wynosi 0,50·0,40²=0,080 kg·m². Można również porównać od razu stosunek I₂/I₁=(0,40/0,20)²=4. W tym porównaniu masy skracają się, ponieważ nie zmieniliśmy obciążników. Gdyby jeden przesunąć, a drugi pozostawić w miejscu, wspólny mnożnik 4 nie byłby już poprawny.

Odległości podnosimy do kwadratu przed sumowaniem

I_1=2(0{,}50\,\mathrm{kg})(0{,}20\,\mathrm m)^2=0{,}040\,\mathrm{kg\,m^2},\qquad I_2=2(0{,}50\,\mathrm{kg})(0{,}40\,\mathrm m)^2=0{,}160\,\mathrm{kg\,m^2}.

Kwadrat dotyczy metra i liczby 0,20. Nie jest to (2mr)²: liczby ciężarków ani masy nie podnosimy do kwadratu. Szkic pokazuje tę samą oś w obu ustawieniach.

Wynik

Początkowo I=2\cdot0{,}50\cdot0{,}20^2=0{,}040 kg·m². Po przesunięciu I=0,160 kg·m². Podwojenie odległości od osi zwiększyło moment czterokrotnie; nie zwiększyło masy.

Kontrola i porównanie energii

Jednostka jest iloczynem kilograma i kwadratu metra. Całkowita masa nadal wynosi 1 kg, a środek masy nadal leży na osi: wzrosła jedynie miara oddalenia masy od niej. Dla przykładowej jednakowej prędkości 5 rad/s energia wzrosłaby z 0,50 J do 2,0 J. Przy takim samym narzuconym momencie przyspieszenie kątowe zmalałoby natomiast czterokrotnie.

Wariant: przesuńmy tylko prawy ciężarek na 0,40 m, lewy zostawiając na 0,20 m. Wtedy I=0,020+0,080=0,100 kg·m². Środek masy przestanie być na pierwotnej osi, ale definicja I względem tej osi nadal działa. Nie wolno zmienić osi na nowy środek masy bez zaznaczenia, bo byłoby to inne pytanie.

Dodatkowa kontrola

Jeszcze inne porównanie: jeżeli obu układom nadamy tę samą energię obrotu 2 J, pierwszy osiągnie ω=√(4/0,040)=10 rad/s, drugi ω=√(4/0,160)=5 rad/s. Czterokrotna zmiana I daje wtedy dwukrotną zmianę ω, ponieważ stała jest energia, a nie moment pędu. Warunki porównania trzeba zawsze zapisać przed wyborem proporcji.

Powiązana teoria

Moment bezwładności: liczy się także odległość od osi

Dalsza lektura

Materiał referencyjny