Jednorodny pręt obracany wokół końca

Rozwiązanie

Rozpoznajemy dwie równoległe osie

W treści podano moment względem osi przez środek masy. Nowa oś przez koniec jest do niej równoległa i odsunięta o połowę długości pręta. Spełnione są warunki twierdzenia Steinera: I=I_C+md². Odległość d wynosi 0,40 m, a nie 0,80 m. Długość pręta służy do obliczenia zarówno I_C, jak i tego przesunięcia.

Obliczamy oba składniki

I_C=3·0,80²/12=0,16 kg·m². Dodatek md²=3·0,40²=0,48 kg·m². Suma daje 0,64 kg·m². Symbolicznie współczynniki 1/12+1/4 sumują się do 1/3, co odtwarza wzór dla osi przez koniec bez zapamiętywania osobnej tabeli.

Oddzielamy długość pręta od przesunięcia osi

d=\frac L2=0{,}40\,\mathrm m,\qquad I=\frac{mL^2}{12}+m\frac{L^2}{4}=\frac{(1+3)mL^2}{12}=\frac{mL^2}{3}.

Wspólny mianownik 12 daje 1/12+3/12=4/12. Dopiero teraz podstawiamy m=3,0 kg i L=0,80 m: I=3,0·0,80²/3=0,64 kg·m². Przesunięcie d jest odległością między osiami, nie od dowolnego końca pręta.

Wynik

I=mL^2/12+m(L/2)^2=mL^2/3=0{,}64 kg·m². Dodawany człon wykorzystuje odległość 0,40 m, nie całą długość. Wynik jest większy od 0,16 kg·m² dla osi środkowej.

Sprawdzamy sens przesunięcia

Wynik jest większy od środkowego, ponieważ oś przez środek masy minimalizuje I w rodzinie osi równoległych. Stosunek 0,64/0,16=4 nie oznacza, że każdy fragment pręta oddalił się dokładnie dwukrotnie: to wynik sumowania całego rozkładu mas. Jednostka pozostaje kg·m².

Wariant: oś równoległa odsunięta o pełne 0,80 m od środka, a więc już poza prętem, dałaby I=0,16+3·0,80²=2,08 kg·m². To pokazuje, jaki błąd popełnilibyśmy, podstawiając pełną długość jako d w pierwotnym zadaniu. Przy przenoszeniu z końca z powrotem do środka odejmujemy znany człon md²; nie dodajemy go ponownie.

Dodatkowa kontrola

Przy ω=2 rad/s pręt obracany wokół środka miałby energię 0,32 J, a wokół końca 1,28 J. Większa energia nie oznacza dodatkowej masy, lecz większe średnie kwadraty szybkości poszczególnych fragmentów. Porównanie wymaga tej samej ω: nadanie obu ruchom tej samej energii dałoby różne prędkości kątowe.

Powiązana teoria

Moment bezwładności: liczy się także odległość od osi

Dalsza lektura

Materiał referencyjny