Prędkość radialna z widma — ruch ku nam i od nas

Potrzebne wiadomości: Długość fali, prędkość światła, ułamki i znaki wielkości.

Najpierw rozpoznajemy linię, potem mierzymy jej przesunięcie

Wzorzec laboratoryjny podaje długość fali λ₀ dla danego przejścia. W widmie gwiazdy ta sama linia może wypaść przy innej długości λ. Aby nie pomylić przesunięcia z obecnością innego pierwiastka, porównujemy układ kilku linii. Wspólny względny czynnik przesunięcia jest mocniejszą wskazówką niż pojedyncza przypadkowa zgodność.

Definiujemy bezwymiarową wielkość z = (λ − λ₀)/λ₀. Dodatnie z oznacza dłuższą falę, ujemne krótszą. Dla małej względnej prędkości, po uwzględnieniu innych przyczyn przesunięcia, składowa wzdłuż linii widzenia spełnia:

v_r\approx cz.

To pomiar składowej, nie całej prędkości

Przyjmujemy zwrot dodatni od obserwatora ku źródłu: dodatnie vᵣ oznacza oddalanie. Ruch rozkładamy na składową radialną i poprzeczną. W tym liniowym przybliżeniu widmo mierzy pierwszą z nich. Zmiana położenia kątowego na niebie informuje o drugiej, ale do przeliczenia kąta na prędkość liniową potrzebna jest odległość.

Gwiazda o składowych 30 km/s radialnie i 40 km/s poprzecznie ma szybkość 50 km/s, ponieważ √(30² + 40²) = 50. Widmo nie powinno wówczas dać 50 km/s: jego radialny wynik wynosi 30 km/s. Zerowe vᵣ także nie oznacza, że obiekt jest nieruchomy.

Małe przesunięcie z jednostkami

Linia 600 nm jest obserwowana przy 600,12 nm. Różnica to 0,12 nm, a z = 0,12/600 = 0,0002. Przy c = 300 000 km/s otrzymujemy +60 km/s. Nanometry skracają się w z; nie trzeba osobno zamieniać obu długości na metry. Gdyby linię zmierzono przy 599,88 nm, wynik wyniósłby −60 km/s i oznaczał zbliżanie. Prędkość światła w próżni nie zmienia się na c + v ani c − v — zmieniają się częstotliwość i długość fali.

Gdzie kończy się przybliżenie liniowe?

Dla czysto radialnego ruchu względnego w płaskiej czasoprzestrzeni szczególna teoria względności daje:

1+z=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}},\qquad \beta=\frac{v}{c}=\frac{(1+z)^2-1}{(1+z)^2+1}.

Dla z = 0,50 otrzymujemy β = 1,25/3,25 = 5/13 ≈ 0,3846. Liniowe β ≈ z dałoby 0,50, wyraźnie za dużo. Zgodność obu postaci w granicy małego z nie uprawnia do stosowania prostszej przy dowolnym przesunięciu.

Obserwator również się porusza

Ruch Ziemi i instrumentu wpływa na wynik, więc trzeba określić układ odniesienia i zastosować odpowiednią korektę. Znaczenie mogą mieć kalibracja długości fali, grawitacyjne przesunięcie oraz zjawiska w atmosferze gwiazdy. Efekt poprzeczny pojawia się w pełnej relatywistyce w wyższym rzędzie. Kosmologicznego z nie zamieniamy automatycznie tym samym wzorem na jedną uniwersalną prędkość: ekspansja wymaga własnego modelu. Rzetelny wynik mówi zatem zarówno „ile przesunęła się linia”, jak i „pod jakimi warunkami odpowiada to ruchowi źródła”.

Warsztat: dwie linie i jedna hipoteza ruchu

Sprawdźmy wynik na czymś więcej niż jednej liczbie. Linie laboratoryjne 500 i 600 nm zmierzono przy 500,10 i 600,12 nm. Pierwsza daje z = 0,10/500 = 0,0002, druga z = 0,12/600 = 0,0002. Różnice w nanometrach są inne, ale względne przesunięcia jednakowe. Obie linie zgadzają się z radialnym oddalaniem około 60 km/s. Gdyby druga wypadła przy 600,10 nm, otrzymalibyśmy 50 km/s. Przed uśrednieniem warto wtedy sprawdzić rozpoznanie linii, nakładanie się sąsiednich linii i kalibrację.

Niepewność też musi przejść przez ten sam rachunek. Przy pomijalnej niepewności λ₀ i zastosowanych poprawek oraz przy stałym c standardowa niepewność położenia pierwszej linii 0,01 nm daje:

u(v_r)\approx\frac{c}{\lambda_0}u(\lambda)=6\ \mathrm{km/s}.

To nie gwarantowany przedział i nie pełny budżet błędu obserwatorium. Wspólny błąd skali spektrografu nie zniknie tylko dlatego, że zmierzyliśmy wiele linii.

Sprawdź sam

Jak przesunęłaby się linia 750 nm przy tym samym z? Odpowiedź: o 0,15 nm, do 750,15 nm. Jeśli obiekt ma dodatkowo prędkość poprzeczną 80 km/s, a radialną 60 km/s, jego szybkość wynosi 100 km/s. Widmo nadal dostarcza w tym przybliżeniu 60 km/s. Dwa różne pomiary uzupełniają się, zamiast konkurować o jedną „prawdziwą” liczbę.

Zadania do tego tematu

• Linia 500 nanometrów przesunięta ku czerwieni
• Skrócenie linii 600 nanometrów
• Zerowa składowa radialna nie oznacza spoczynku
• Duże przesunięcie i relatywistyczny wzór radialny

Dalsza lektura

Materiał referencyjny