Duże przesunięcie i relatywistyczny wzór radialny

Rozwiązanie

Używamy zadanego modelu relatywistycznego

Przy z = 0,25 nie zakładamy automatycznie β = z. Obliczamy najpierw (1 + z)², a potem iloraz jego różnicy i sumy z jedynką. Wynik jest bezwymiarowy.

Otrzymujemy \beta=(1{,}5625-1)/(1{,}5625+1)=9/41\approx0{,}2195. Wzór liniowy dałby 0,25, czyli większą wartość. Źródło się oddala, lecz przy takim przesunięciu zaniedbanie poprawek relatywistycznych nie jest uzasadnione dla dokładnego rachunku.

Porównanie ma sens w tym samym modelu

9/41 jest mniejsze od jedności, zgodnie z ograniczeniem szybkości masywnego źródła. Liniowy wynik przewyższa relatywistyczny o około 14% jego wartości. Nie jest to rachunek prędkości ekspansji odległej galaktyki.

Dokładne ułamki pokazują wielkość poprawki

Dla z = 1/4 mamy 1 + z = 5/4, więc kwadrat wynosi 25/16. Stąd:

\beta=\frac{25/16-1}{25/16+1}=\frac{9/16}{41/16}=\frac9{41}=0{,}219512\ldots

Różnica między liniowym 1/4 a 9/41 to 5/164 ≈ 0,03049. Jest to różnica wyrażona jako część c. Względem poprawnego wyniku błąd liniowego przybliżenia wynosi (5/164)/(9/41) = 5/36 ≈ 13,9%. Względem samego przybliżenia procent byłby inny, dlatego podajemy mianownik porównania.

Sprawdźmy powrót do obserwacji: (1 + β)/(1 − β) = (50/41)/(32/41) = 25/16. Pierwiastek daje 5/4, a po odjęciu jedności znów z = 1/4. Nie trzeba przyjmować liczbowej wartości c, bo pytanie dotyczy v/c. Przy z = 0 obie metody dają zero; zgodność w tym punkcie nie oznacza zgodności w całym zakresie.

Powiązana teoria

Prędkość radialna z widma — ruch ku nam i od nas

Dalsza lektura

Materiał referencyjny