Naładowany telefon waży więcej. I nie chodzi o elektrony

Jak to możliwe? Przecież niczego do środka nie dolaliśmy.

No właśnie. To dobry moment, żeby wrócić do wzoru, który zna niemal każdy, ale z którego konsekwencjami znacznie trudniej się oswoić.

Ładowarka nie jest cysterną z elektronami

Można sobie wyobrażać, że ładowanie telefonu przypomina tankowanie samochodu. Do baku wlewamy benzynę, do baterii „wlewamy prąd”. Skoro coś wpłynęło, to musi być ciężej. Brzmi rozsądnie, tylko że zwykły akumulator litowo-jonowy nie działa jak zbiornik napełniany coraz większą liczbą elektronów.

Podczas ładowania elektrony są doprowadzane do jednej elektrody i odprowadzane z drugiej, a wewnątrz ogniwa przemieszczają się jony. Zmienia się stan chemiczny materiałów elektrod. Dostarczona energia zostaje zmagazynowana w układzie, który później może ją oddać do obwodu. Nie powstaje przy tym wielki nadmiar elektronów w całej baterii. [2]

Pod pewnym względem lepszym skojarzeniem jest nakręcanie mechanicznego zegarka. Nie dokładamy mu kolejnych kół zębatych. Wykonujemy pracę, zmieniając stan sprężyny, i dzięki temu mechanizm może później działać. Akumulator przechowuje energię inaczej, ale w obu przypadkach istotne jest nie tylko to, z czego układ się składa, lecz także w jakim jest stanie. [2, 5]

Wzór, który nie wymaga wybuchu

Słynne równanie Einsteina warto tutaj zapisać z małym dopiskiem:

E₀ = mc².

Symbol E₀ oznacza energię spoczynkową, czyli całkowitą energię układu w takim układzie odniesienia, w którym jego łączny pęd jest zerowy. Dla naszego telefonu po prostu: patrzymy na niego, gdy spokojnie leży na biurku. Nie oznacza to jednak, że wewnątrz wszystko zamarło. Energia ruchu jego mikroskopijnych składników i ich oddziaływań też wchodzi do tego bilansu. [3, 9]

Jeżeli zwiększymy tę energię o ΔE₀, to masa wzrośnie o:

Δm = ΔE₀ / c².

Nie trzeba przeprowadzać reakcji jądrowej. Nie trzeba też rozpędzać telefonu do prędkości bliskiej prędkości światła. Współczynnik c² nie jest warunkiem, który urządzenie ma spełnić, tylko przelicznikiem między jednostkami energii i masy. [9]

I tu pojawia się kłopot z naszą intuicją. Przyzwyczailiśmy się traktować masę jak miarę tego, ile jest „tworzywa”: więcej atomów, większa masa. To użyteczne przybliżenie, ale nie pełny opis. Ten sam zestaw składników może tworzyć układy o różnych masach, zależnie od ich energii wewnętrznej. [3]

Dobrze, ale o ile cięższy?

Policzmy, zamiast poprzestawać na stwierdzeniu, że różnica jest „bardzo mała”.

Przyjmijmy, że po zakończeniu ładowania i ostygnięciu urządzenia pozostało w nim dodatkowe 20 watogodzin energii. To założenie do rachunku, nie pomiar konkretnego modelu telefonu. Interesuje nas rzeczywisty przyrost energii wewnętrznej, a nie cała energia pobrana z gniazdka — część tej ostatniej została przecież oddana otoczeniu podczas ładowania. [1, 2]

Jedna watogodzina to 3600 dżuli, zatem nasze 20 Wh odpowiada 72 000 J. Dzielimy tę wartość przez kwadrat prędkości światła, w przybliżeniu 300 milionów metrów na sekundę:

Δm ≈ 72 000 / (3 × 10⁸)² kg = 8 × 10⁻¹³ kg = 0,8 ng.

Osiem dziesiątych nanograma. W przeliczeniu na gramy: około 0,0000000008 g. To wynik naszego oszacowania, otrzymany bez żadnych egzotycznych danych — wystarczyła założona energia i równanie Einsteina.

Nie ma więc sensu sprawdzać tego na wadze kuchennej. Gdyby po ładowaniu wskazała dodatkowe 0,01 g, byłaby to różnica ponad dziesięć milionów razy większa od właśnie obliczonej. Sam odczyt nie świadczyłby o wykryciu tego efektu. Przy precyzyjnym ważeniu nawet różnica temperatur między przedmiotem a otoczeniem potrafi zakłócić wynik, wywołując ruch powietrza. [4]

Mały wynik nie oznacza jednak, że cała sprawa jest wyłącznie matematyczną sztuczką. Oznacza, że przelicznik c² jest ogromny: całkiem użytecznej ilości energii odpowiada bardzo niewielki przyrost masy.

Gorąca kawa też. Tylko zakręć termos

Z tego samego rozumowania wynika, że ogrzanie przedmiotu może zwiększyć jego masę. Wyobraźmy sobie szczelnie zamknięty, sztywny pojemnik z wodą. Dostarczamy mu energię, podnosząc temperaturę, ale nie dodajemy ani nie usuwamy materii. Po ogrzaniu cały układ ma większą energię spoczynkową, a więc również większą masę. [1]

Z otwartym kubkiem kawy nie byłoby już tak prosto. Kawa stygnie, ale także paruje. Traci więc jednocześnie energię i cząsteczki wody. Zważenie kubka przed wypiciem kawy i po nim też niewiele nam powie o teorii względności — zdecydowana większość różnicy będzie miała znacznie bardziej przyziemne pochodzenie.

Dlatego fizycy tak pilnują, co właściwie należy do badanego układu i co przekracza jego granice. Nie jest to czepianie się szczegółów. Bez tego łatwo przypisać wynik zupełnie niewłaściwemu zjawisku. [5]

Można zresztą wybrać przykład jeszcze bardziej niewygodny dla intuicji. Zamiast ogrzewać wodę, spróbujmy zamknąć w pudełku światło.

Pudełko pełne światła

Wyobraź sobie pudełko o idealnie odbijających ściankach. Doprowadzamy do jego wnętrza światło z zewnętrznego źródła, a potem je zamykamy. Porównujemy stany, w których pudełko jako całość spoczywa. Jeżeli zatrzymaliśmy w nim dodatkową energię, jego masa jest większa. To kolejny wniosek z tego samego równania. [1, 3]

Zaraz, przecież fotony nie mają masy?

Pojedynczy foton ma zerową masę spoczynkową, ale ma energię i pęd. Nie wolno utożsamiać masy pojedynczego składnika z masą całego układu. Rozważmy choćby dwa fotony o jednakowych energiach, lecące w przeciwnych kierunkach. Ich pędy się znoszą, natomiast energie się dodają. Taki układ ma niezerową masę, mimo że każdy z fotonów z osobna jest bezmasowy. Wynika to z ogólnego związku między energią, pędem i masą. [3, 8]

Nie „dociążyliśmy” więc pojedynczych fotonów. Zwiększyliśmy energię całego pudełka wraz z zawartością.

Teraz mała pułapka. A gdybyśmy zamiast doprowadzać światło z zewnątrz włożyli do środka latarkę z baterią, zamknęli pudełko, doskonale odizolowali je od otoczenia a dopiero wtedy latarka włączyła się automatycznie? Czy od samego świecenia całość stałaby się cięższa?

Nie. Energia potrzebna do świecenia już była w środku, zgromadzona w baterii. Włączenie latarki zmieniło jedynie jej postać i rozmieszczenie. Dopóki z naszego izolowanego układu nie ucieka energia ani materia, jego całkowita masa pozostaje taka sama. [3, 5]

To ważne również przy telefonie. Sam spadek procentów baterii nie oznacza, że odpowiadająca mu energia natychmiast opuściła całe urządzenie. Część może nadal pozostawać w nim jako energia cieplna. Trzeba odróżniać rozładowanie akumulatora od oddania energii przez telefon do otoczenia. [2, 5]

To skąd bierze się reszta naszej masy?

Przy telefonie mówimy o ułamku nanograma. Można więc odnieść wrażenie, że równoważność masy i energii jest drobną poprawką, którą poza specjalistycznym laboratorium wolno sobie darować. Tyle że w budowie materii ten sam związek odgrywa znacznie większą rolę.

Większość masy atomów znajduje się w ich jądrach, zbudowanych z protonów i neutronów. Te z kolei nie są elementarnymi kulkami. Ich wnętrze opisujemy za pomocą kwarków i gluonów. Same masy spoczynkowe lekkich kwarków nie wystarczają, żeby wyjaśnić masę protonu. Przeważająca jej część wynika z energii związanej z dynamiką kwarków i gluonów oraz ich silnymi oddziaływaniami. [6, 7]

Innymi słowy, to, co w telefonie było niemal niewykrywalnym dodatkiem, w protonie jest zasadniczą częścią odpowiedzi na pytanie, skąd w ogóle bierze się jego masa.

Nie oznacza to, że proton jest po prostu pudełkiem z fotonami. To inny układ, rządzony innymi oddziaływaniami. Wspólna jest zasada: masa złożonego układu nie sprowadza się do dodania mas jego składników. [3, 7]

Nie ma też potrzeby dorabiać do tego opowieści, że jesteśmy „zrobieni z czystej energii”. Energia nie jest tajemniczą substancją, z której ulewa się przedmioty. Jest wielkością opisującą stan układu. Tutaj chodzi o konkretną, obliczalną zależność fizyczną, a nie metaforę. [5]

I chyba właśnie tego szkoda, gdy równanie Einsteina zostaje na lekcji wyłącznie wzorem do przekształcania. Można bezbłędnie wyznaczać z niego m, a nigdy nie zapytać, co właściwie powinno się stać z masą ładowanego telefonu.

Przy telefonie efekt ginie daleko poza zasięgiem domowej wagi. W protonie dotyczy większej części tego, co chcielibyśmy zważyć. Dość dużo treści jak na wzór, który można zapisać na marginesie zeszytu.

Źródła i dalsza lektura

[1] Max Planck Institute for Gravitational Physics, Einstein Online: Equivalence between mass and energy. W artykule posługujemy się masą spoczynkową i energią całego układu w jego układzie spoczynkowym; materiał źródłowy omawia również historyczne pojęcie masy relatywistycznej.

[2] U.S. Department of Energy: DOE Explains… Batteries.

[3] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, tom I, rozdział 16: Relativistic Energy and Momentum, szczególnie §16–5 i równanie 16.13.

[4] University of Wisconsin–Madison, Department of Chemistry: Weighing Hot Objects.

[5] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, tom I, rozdział 4: Conservation of Energy.

[6] CERN: The other 99%, 5 lutego 2025.

[7] U.S. Department of Energy: Scientists Locate the Missing Mass Inside the Proton, 14 lutego 2024.

[8] Symmetry, Fermilab / SLAC: Massless particles can’t be stopped, 23 lipca 2019.

[9] Max Planck Institute for Gravitational Physics, Einstein Online: Special relativity: E=mc².