Interferencja — zadanie: pomiar długości fali

Rozwiązanie

Od pomiaru na ekranie do długości fali

W tym zadaniu λ jest niewiadomą. Znamy d, L oraz odstęp dwóch sąsiednich jasnych prążków. Nie potrzebujemy numeru konkretnego prążka, bo różnica numerów sąsiednich maksimów wynosi jeden.

Przekształcamy Δy = λL/d: mnożymy obie strony przez d i dzielimy przez L. Otrzymujemy λ = Δy d/L. W liczniku jest iloczyn dwóch długości, w mianowniku jedna, więc wynik ma jednostkę długości. Przed użyciem kalkulatora warto przewidzieć rząd: iloczyn 10⁻³ · 10⁻⁴ daje 10⁻⁷, czyli okolice setek nanometrów.

Wyznaczenie λ

Z zależności Δy = λL/d wyznaczamy λ = Δy d/L. W jednostkach SI Δy = 0,0030 m i d = 0,00020 m.

\lambda=\frac{0{,}0030\cdot0{,}00020}{1{,}2}=5{,}0\cdot10^{-7}\ \mathrm{m}.

Odpowiedź: 500 nm.

Iloczyn dwóch długości podzielony przez długość nadal ma jednostkę metra. Ponowne podstawienie 500 nm do wzoru na prążki daje 3,0 mm. Nie należy dzielić zmierzonego odstępu jeszcze przez dwa: podano odległość między sąsiednimi jasnymi prążkami, a nie między jasnym prążkiem i sąsiednim minimum.

Przesunięcie ekranu

Nowe L jest dwa razy mniejsze, więc nowy odstęp wyniesie 1,5 mm. Długość fali nie zmieniła się: ekran jedynie przechwytuje te same kierunki propagacji wcześniej. Podstawiając 1,5 mm i 0,60 m do wzoru odwrotnego, znowu otrzymamy 500 nm.

W doświadczeniu warto mierzyć kilka odstępów naraz i podzielić odcinek przez ich liczbę. Jeżeli zaznaczysz dziesięć kolejnych jasnych prążków, między pierwszym a ostatnim będzie dziewięć odstępów, nie dziesięć. Taka pomyłka dawałaby systematycznie inną długość fali nawet przy idealnym odczycie linijki.

Dlaczego mierzymy odstęp prążków, a nie odległość pierwszego od środka?

W pierwotnym zadaniu szczeliny są zgodne w fazie, a wynik 500 nm wyznaczamy z odstępu 3 mm. Rozważmy dodatkowo stałe przesunięcie fazy δ₀ = π/2 między falami wychodzącymi ze szczelin, bez zmiany długości fali. Przyjmijmy znak współrzędnej y taki, że geometryczny przyrost fazy jest dodatni. Całkowita różnica faz wynosi wtedy 2πy/Δy + δ₀. Jasne prążki wymagają wielokrotności 2π, więc:

y_m=\left(m-\frac{\delta_0}{2\pi}\right)\Delta y=\left(m-\frac14\right)3\ \mathrm{mm}.

Maksima leżą teraz między innymi przy −3,75 mm, −0,75 mm, +2,25 mm i +5,25 mm. Cały wzór przesunął się o −0,75 mm, lecz kolejne różnice nadal wynoszą 3 mm. W obliczeniu yₘ₊₁ − yₘ stały składnik fazy znika, dlatego pomiar odstępu wciąż daje 500 nm.

Gdybyśmy błędnie uznali pierwsze dodatnie położenie +2,25 mm za odstęp prążków, otrzymalibyśmy 375 nm. Taki błąd nie wynika ze złego przeliczania milimetrów, lecz z pomylenia położenia z okresem wzoru. Stała różnica faz może przesuwać prążki; szybkie losowe zmiany fazy podczas ekspozycji mogą je natomiast rozmywać. Dlatego pomiar kilku odstępów jest odporny na stałe przesunięcie całego obrazu, ale nie przywróci ostrości prążkom, których położenia zmieniają się w czasie.

Powiązana teoria

Interferencja światła i doświadczenie Younga

Dalsza lektura

Materiał referencyjny