Pojemność i potencjał kuli o promieniu dziewięciu centymetrów

Rozwiązanie

Geometria wyznacza pojemność

Izolowana kula w próżni ma C=R/k, przy zerze potencjału w nieskończoności. Ładunek nie jest potrzebny w pierwszym etapie. Założenie odległych innych przewodników pozwala użyć wzoru dla odosobnionej kuli.

Przelicz przedrostki

Promień 0,090 m pozostaje w jednostkach SI, a ładunek 3,0 nC zapisujemy jako 3,0·10⁻⁹ C. Dzielenie promienia przez 9,0·10⁹ daje 10⁻¹¹ F. To 10 pF, ponieważ jeden pikofarad oznacza 10⁻¹² F. Następnie φ=Q/C ma jednostkę C/F=V.

Dodatni ładunek daje dodatni potencjał względem nieskończoności. Nie oznacza to dodatniego pola w każdej osi: kierunek pola zależy od położenia, natomiast potencjał jest skalarem.

Wynik

Pojemność wynosi C=0{,}090/(9{,}0\cdot10^9)=10^{-11}\ \mathrm{F}=10\ \mathrm{pF}. Potencjał to \varphi=3{,}0\cdot10^{-9}/10^{-11}=300\ \mathrm{V}. Ładunek dodatni daje dodatni potencjał przy wybranym zerze w nieskończoności.

Odpowiedź: 10 pF oraz +300 V. Gdyby sam ładunek podwoić, potencjał wzrósłby dwukrotnie, lecz pojemność tej samej kuli pozostałaby bez zmian.

Sprawdzenie i energia

Bez używania pojemności można policzyć φ=kQ/R=300 V. Dwa sposoby prowadzą do tej samej liczby. Energia pola wynosi Qφ/2=0,45 μJ. Podwojenie samego ładunku dałoby 600 V, tę samą pojemność 10 pF i czterokrotnie większą energię. Podwojenie promienia przy stałym ładunku dałoby natomiast 20 pF i 150 V. To pokazuje, dlaczego nie należy utożsamiać pojemności z aktualnie zgromadzonym ładunkiem.

Powiązana teoria

Pojemność pojedynczego przewodnika: naładowana kula bez drugiej okładki

Dalsza lektura

Materiał referencyjny