Pojemność pojedynczego przewodnika: naładowana kula bez drugiej okładki

Potrzebne wiadomości: Ładunek, potencjał elektryczny i pole przewodzącej kuli.

Zero potencjału w nieskończoności

Dla odosobnionego przewodnika przyjmujemy potencjał równy zeru bardzo daleko od niego. Pojemność definiujemy przez C=Q/\varphi. Dla ustalonego kształtu, otoczenia i liniowego ośrodka zależność Q od φ jest liniowa. Pojemność nie rośnie więc tylko dlatego, że doprowadziliśmy więcej ładunku.

Na powierzchni izolowanej przewodzącej kuli o promieniu R w próżni \varphi=kQ/R, gdzie k=1/(4\pi\varepsilon_0). Stąd C=R/k=4\pi\varepsilon_0R. Dwa razy większy promień oznacza dwa razy większą pojemność.

Sprawdźmy wielkość

Dla R=0,18 m i k≈9·10⁹ N·m²/C² pojemność wynosi 20 pF. Ładunek 6 nC nada tej kuli potencjał 300 V. Nie wynika z tego, że kula ma wielki zapas energii: w tym modelu W=Q\varphi/2=0{,}90\ \mu\mathrm{J}.

Izolowana nie znaczy dowolnie ustawiona

Wzór C=4πε₀R zakłada brak pobliskich przewodników i odpowiednio odległe otoczenie. Kula obok uziemionej płyty ma inną pojemność. Gdy odległe kule połączymy cienkim przewodem i pominiemy ich wzajemny wpływ, wyrównują się potencjały, a nie ładunki. Wtedy Q_1/R_1=Q_2/R_2. Większa kula gromadzi więcej ładunku przy tym samym potencjale. To ta sama definicja pojemności, nie dodatkowa reguła do zapamiętania.

Połączenie wyrównuje potencjały, nie ładunki. Na rysunku promienie zachowują stosunek 1:2. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Pojemność nie jest liczbą elektronów, które się zmieszczą

Nazwa bywa myląca. Pojemność elektryczna opisuje stosunek zgromadzonego ładunku do zmiany potencjału, nie geometryczną objętość pustego pojemnika. Dla danego przewodnika większa pojemność oznacza, że doprowadzenie tej samej porcji ładunku mniej podnosi jego potencjał. Nie jest to również największy dopuszczalny ładunek: ograniczenia związane z przebiciem otoczenia wymagają osobnej analizy.

W przypadku kondensatora porównujemy potencjały dwóch okładek. Dla pojedynczego odosobnionego przewodnika za odniesienie przyjmujemy nieskończenie odległe otoczenie. W realnym doświadczeniu to idealizacja sytuacji, w której inne przewodniki są wystarczająco daleko, by ich wpływ zaniedbać. Ustalenie odniesienia jest częścią definicji, a nie dowolnym późniejszym dodatkiem.

Dlaczego kula jest prostym przypadkiem?

W równowadze elektrostatycznej powierzchnia przewodnika ma jeden potencjał. Dla odosobnionej kuli symetria pozwala opisać zewnętrzne pole tak jak pole ładunku w jej środku. Na powierzchni φ=kQ/R. Stosunek Q/φ daje R/k, więc Q skraca się. To pokazuje od razu, że przy niezmienionej geometrii podwojenie ładunku podwaja potencjał, ale nie pojemność.

Jednostka R/k to m podzielony przez N·m²/C², czyli C²/(N·m)=C²/J=C/V. Jest to farad. Zwykłe kule laboratoryjne mają pojemności liczone w pikofaradach: 1 pF to 10⁻¹² F. Wielkie napięcie nie oznacza automatycznie wielkiej energii, bo pojemność może być niewielka.

Przykład: kula o promieniu 9 cm

Przy R=0,090 m i k=9·10⁹ pojemność wynosi 10 pF. Ładunek +3 nC daje φ=300 V. Na powierzchni natężenie ma wartość E=kQ/R²=φ/R, czyli około 3333 V/m. Potencjał i natężenie nie są tą samą wielkością: pierwszy jest w woltach, drugie w woltach na metr. Wewnątrz przewodnika pole jest zerowe, ale potencjał pozostaje równy potencjałowi powierzchni.

Energia naładowanej kuli wynosi Qφ/2=0,45 μJ. Czynnik 1/2 wynika z tego, że podczas ładowania potencjał wzrastał od zera do 300 V. Rachunek Qφ traktowałby każdą porcję ładunku tak, jakby już od początku trzeba było wnosić ją na końcowy potencjał.

Kontrast: dwie połączone kule

Dwie odległe kule o promieniach 0,10 i 0,20 m łączymy cienkim przewodem. Jeżeli całkowity ładunek wynosi 9 nC i pomijamy wpływ przewodu, warunkiem końca przepływu jest równość potencjałów. Równanie kQ₁/R₁=kQ₂/R₂ daje Q₂=2Q₁. Razem z Q₁+Q₂=9 nC prowadzi do 3 i 6 nC. Wspólny potencjał to 270 V.

Równe ładunki po 4,5 nC byłyby błędne: mniejsza kula miałaby dwa razy większy potencjał niż większa, więc przepływ jeszcze by się nie zakończył. Nie trzeba pamiętać osobnej reguły „większa kula bierze więcej”. Wynika ona z pojemności i warunku równowagi. Gdy kule są blisko siebie, prosty wzór na potencjał każdej izolowanej kuli nie wystarcza.

Ładunek i energia podczas łączenia

W idealizowanym układzie odizolowanym od otoczenia całkowity ładunek jest zachowany. Sama energia elektrostatyczna nie musi być zachowana podczas wyrównywania potencjałów: część może przejść w ciepło przewodu i promieniowanie. Zasada zachowania energii obejmuje te postacie. Założenie przewodu o bardzo małym oporze nie pozwala po prostu skreślić całej dynamiki i jednocześnie zażądać zachowania energii samego końcowego pola.

Sprawdź się

Podwojono promień kuli, utrzymując ładunek. Pojemność rośnie dwukrotnie, potencjał maleje dwukrotnie, a natężenie na powierzchni maleje czterokrotnie. Jeśli zamiast ładunku utrzymujemy potencjał, ładunek rośnie dwukrotnie, a pole powierzchniowe maleje dwukrotnie. Odpowiedź zależy od tego, którą wielkość utrzymujemy stałą; sam zwrot „większa kula” nie wystarcza.

Zadania do tego tematu

• Pojemność i potencjał kuli o promieniu dziewięciu centymetrów
• Dwie odległe kule połączone przewodem: nierówne ładunki

Dalsza lektura

Materiał referencyjny