Dwie odległe kule połączone przewodem: nierówne ładunki

Rozwiązanie

Dwa równania, dwie niewiadome

Wyrównanie potencjałów daje Q₁/R₁=Q₂/R₂. Zachowanie ładunku daje Q₁+Q₂=9,0 nC. Pierwsze równanie wynika z równowagi elektrycznej po połączeniu, drugie z odizolowania całego układu. Nie zastępujemy żadnego z nich założeniem równych ładunków.

Stosunek promieni

Druga kula ma dwa razy większy promień i w przyjętym modelu dwa razy większą pojemność. Przy wspólnym potencjale musi więc mieć dwa razy większy ładunek. Z Q₂=2Q₁ i sumy 9,0 nC dostajemy trzy równe części po 3,0 nC: jedną na pierwszej kuli, dwie na drugiej.

Potencjał można wyznaczyć z dowolnej kuli. Sprawdzenie obu jest dobrym sposobem wychwycenia pomylenia promieni albo przedrostka nano.

Wynik

Z kQ_1/R_1=kQ_2/R_2 mamy Q_2=2Q_1. Ponieważ Q_1+Q_2=9{,}0\ \mathrm{nC}, otrzymujemy Q₁=3,0 nC oraz Q₂=6,0 nC. Wspólny potencjał wynosi \varphi=9{,}0\cdot10^9\cdot3{,}0\cdot10^{-9}/0{,}10=270\ \mathrm{V}.

Odpowiedź: +3,0 nC, +6,0 nC i +270 V. Założenie dużej odległości jest potrzebne do użycia wzoru na potencjał każdej odosobnionej kuli.

Kontrola i zakres przybliżenia

Z pierwszej kuli k·3 nC/0,10 m=270 V; z drugiej k·6 nC/0,20 m=270 V. Suma ładunków nadal wynosi 9 nC. Przy promieniach równych rozdział byłby równy, ale tutaj nie jest. Jeżeli kule znalazłyby się blisko siebie, potencjał każdej zależałby też od drugiej, a rozkład powierzchniowy przestałby być sferycznie symetryczny. Zachowanie ładunku i równość potencjałów pozostałyby słuszne, lecz prosty wzór kQ/R dla każdej osobno wymagałby poprawki.

Powiązana teoria

Pojemność pojedynczego przewodnika: naładowana kula bez drugiej okładki

Dalsza lektura

Materiał referencyjny