Dwa wózki łączą się na modelowym torze

Rozwiązanie

Po połączeniu oba wózki mają jedną prędkość

Przyjmujemy dodatni zwrot osi wzdłuż ruchu pierwszego wózka. Dane to m₁=0,20 kg, v₁=+0,60 m/s, m₂=0,40 kg i v₂=0. Wózki łączą się, więc po zderzeniu tworzą zespół o masie 0,60 kg i wspólnej prędkości v. Rozpatrujemy układ obu wózków w modelu ruchu postępowego, pomijając energię obrotu kół.

Pęd p jest iloczynem masy i prędkości; w tej jednowymiarowej sytuacji jego znak wskazuje zwrot. Wzajemne siły wózków zmieniają pęd każdego z nich, ale ich impulsy znoszą się w bilansie całego układu. W części a pomijamy impuls sił zewnętrznych, dlatego suma pędów pozostaje stała:

m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v.

Najpierw sumujemy pędy ze znakami, następnie dzielimy przez całą poruszającą się po zderzeniu masę:

p_{\mathrm{przed}}=0{,}20\cdot0{,}60+0{,}40\cdot0=0{,}12\ \mathrm{kg\,m/s},\qquad v=\frac{0{,}12\ \mathrm{kg\,m/s}}{0{,}60\ \mathrm{kg}}=+0{,}20\ \mathrm{m/s}.

Wynik jest dodatni: zespół jedzie w zwrocie pierwszego wózka. Jest też mniejszy od 0,60 m/s, bo ten sam pęd niesie teraz większa masa. Dzielenie przez samo 0,20 kg pominęłoby drugi wózek.

Energię liczymy niezależnie od pędu

Połączenie wózków oznacza zderzenie doskonale niesprężyste. Nie zakładamy zachowania energii kinetycznej. Liczymy ją ze wzoru E_k=mv^2/2, który zawiera kwadrat prędkości, a nie prędkość ze znakiem jak pęd:

E_{k,\mathrm{przed}}=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2=\frac12\cdot0{,}20\cdot0{,}60^2=0{,}036\ \mathrm{J}.

E_{k,\mathrm{po}}=\frac12(m_1+m_2)v^2=\frac12\cdot0{,}60\cdot0{,}20^2=0{,}012\ \mathrm{J}.

Odpowiedź: v=0,20 m/s; ubytek energii kinetycznej 0,024 J. Zmiana energii kinetycznej ma znak ujemny: \Delta E_k=0{,}012-0{,}036=-0{,}024\ \mathrm{J}. Energia całkowita nie znika; ta część przechodzi m.in. w odkształcenia, drgania i energię wewnętrzną. Pęd nie jest „zużytą energią” i nadal wynosi +0,12 kg·m/s.

b) Jaki ułamek energii pozostaje?

Dzielimy energię końcową przez początkową: E_{k,\mathrm{po}}/E_{k,\mathrm{przed}}=0{,}012/0{,}036=1/3. Pozostaje więc jedna trzecia, a ubytek stanowi dwie trzecie. Jest to stosunek energii, nie stosunek prędkości użyty bez uwzględnienia masy.

Można sprawdzić to bez ponownego liczenia liczb. Gdy drugi wózek początkowo stoi, z bilansu pędu v=m_1v_1/(m_1+m_2). Podstawiając do wzoru na energię, otrzymujemy E_{k,\mathrm{po}}=m_1^2v_1^2/[2(m_1+m_2)], a po podzieleniu przez m_1v_1^2/2: E_{k,\mathrm{po}}/E_{k,\mathrm{przed}}=m_1/(m_1+m_2)=1/3. Ten skrót wymaga nieruchomego drugiego wózka i połączenia obu ciał.

c) Zewnętrzny impuls zmienia sumę pędów

Teraz zmieniono warunki: w rozpatrywanym przedziale działa dodatkowo impuls J_{\mathrm{zew}}=-0{,}03\ \mathrm{N\,s}. Jest skierowany przeciwnie do dodatniej osi. Jednostki N·s i kg·m/s są równoważne. Zamiast zachowania pędu używamy ogólnego bilansu:

p_{\mathrm{po}}=p_{\mathrm{przed}}+J_{\mathrm{zew}}=0{,}12-0{,}03=+0{,}09\ \mathrm{kg\,m/s}.

Pęd +0,09 kg·m/s odpowiada wspólnej prędkości +0,15 m/s, ponieważ v'=0{,}09/0{,}60=+0{,}15\ \mathrm{m/s}. Impuls zmniejsza pęd, ale nie wystarcza do zmiany jego zwrotu. Użycie wartości bezwzględnej impulsu przewidywałoby rozpędzanie zamiast hamowania.

W tym wariancie nie przenosimy automatycznie wyniku „ubytek 0,024 J” z części a. Energia końcowa jest inna, a z samego impulsu nie znamy pracy siły zewnętrznej. Nie można całej różnicy energii kinetycznej przypisać odkształceniom podczas zderzenia bez dodatkowej analizy.

Co zmierzyć na torze?

Prędkości przed i po wyznaczamy z krótkich odcinków tego samego nagrania, blisko zderzenia i po zakończeniu łączenia. Jeżeli poczekamy, aż wózki przejadą cały tor i zwolnią, do bilansu dołączymy impuls tarcia działającego po zderzeniu. To inny przedział czasu niż użyty w części a. Zapisanie momentów odczytu jest równie ważne jak zapisanie mas.

Powiązana teoria

Pracownia: tarcie, zderzenia i obrót bez zgadywania wyniku

Dalsza lektura

Materiał referencyjny