Pierwsza zasada termodynamiki. Praca, ciepło i silnik cieplny

Potrzebne wiadomości: Energia, praca, ciśnienie i wykres p(V).

Przyjęta konwencja

W tym materiale Q jest dodatnie, gdy układ otrzymuje ciepło, a W jest dodatnie, gdy układ wykonuje pracę nad otoczeniem. Pierwsza zasada termodynamiki ma wówczas postać:

\Delta U=Q-W.

ΔU jest zmianą energii wewnętrznej. Spotyka się także zapis ΔU = Q + W_nad, gdzie pracę liczy się jako dodatnią przy wykonywaniu jej nad układem. To nie inne prawo fizyki, lecz inna definicja znaku pracy: W_nad = −W.

Praca z siły na tłok

Niech tłok ma pole S i przesuwa się na zewnątrz o Δx przeciw ciśnieniu p_zew. Siła oporu ma wartość p_zewS, więc praca gazu wynosi p_zewSΔx. Objętość wzrosła o SΔx. Otrzymujemy W = p_zewΔV bez potrzeby zapamiętywania osobnego wzoru. Przy sprężaniu ΔV jest ujemne, więc praca przez gaz także jest ujemna.

Przykład: rozprężanie od 1 do 3 litrów przy 200 kPa daje W = 200 000 · 0,002 = 400 J. Jeden kPa·l odpowiada jednemu J, ale trzeba to wyprowadzić: 1000 Pa · 0,001 m³ = 1 J. Nie mnożymy przez 1000 drugi raz.

Na pierwszej drodze po tym rozprężeniu obniżamy ciśnienie przy stałej objętości 3 l do 100 kPa. Ten pionowy odcinek nie wnosi pracy objętościowej, bo ΔV = 0. Dopiero po obu etapach osiągamy punkt B: 3 l i 100 kPa, wspólny z końcem drugiej drogi.

Na drugiej drodze gaz najpierw obniża ciśnienie bez zmiany objętości, potem rozszerza się przy 100 kPa. Wykona tylko 200 J pracy. Początek i koniec są takie same, więc zmiana energii wewnętrznej jest taka sama, lecz pobrane ciepło może być inne: z Q = ΔU + W różnica między drogami wynosi 200 J. U jest funkcją stanu, natomiast Q i W zależą od sposobu przemiany.

Praca gazu

Przy powolnym przesuwaniu tłoka przeciw stałemu ciśnieniu zewnętrznemu p_zew praca gazu wynosi W = p_zew(V₂ − V₁). Rozprężanie daje W dodatnie, sprężanie — ujemne. Dla procesu quasi-statycznego można liczyć pracę jako pole ze znakiem pod wykresem p(V); gdy ciśnienie nie jest stałe, iloczyn pojedynczej wartości p i całej zmiany objętości na ogół nie wystarcza.

Przykład: gaz pobiera 500 J ciepła i wykonuje 200 J pracy. Jego energia wewnętrzna rośnie o 300 J. Te 200 J nie zniknęło — gaz przekazał je otoczeniu w postaci pracy.

Jak rozpoznawać szczególne przypadki?

W sztywnym zamkniętym naczyniu nie ma pracy objętościowej, bo ΔV = 0. Jeżeli nie występują inne rodzaje pracy, ΔU = Q. W procesie adiabatycznym Q = 0, więc ΔU = −W: rozprężający się gaz może tracić energię wewnętrzną bez oddawania ciepła. „Bez wymiany ciepła” nie znaczy „bez zmiany temperatury”.

Dla gazu doskonałego energia wewnętrzna zależy od temperatury. W przemianie izotermicznej ΔU = 0, ale może być Q = W ≠ 0. Gaz oddaje wtedy jako pracę energię otrzymywaną jako ciepło. Nie utożsamiamy stałej temperatury z brakiem wszystkich przepływów energii.

Pełny cykl silnika

Po pełnym cyklu układ wraca do stanu początkowego, więc ΔU = 0. Jeżeli pobrał od grzejnika Q_h i oddał chłodnicy energię o dodatniej wartości Q_c, to praca użyteczna wynosi W = Q_h − Q_c. Sprawność jest równa:

\eta=\frac{W}{Q_h}=1-\frac{Q_c}{Q_h}.

W mianowniku jest energia pobrana od grzejnika, nie różnica obu ilości ciepła. Dla silnika pobierającego 1000 J i oddającego 700 J otrzymujemy W = 300 J oraz η = 0,30, czyli 30%.

Sama pierwsza zasada nie określa, które cykle są możliwe. Ograniczenie związane z kierunkiem procesów wprowadza druga zasada. Dla silnika działającego między dwoma zbiornikami o temperaturach bezwzględnych T_h i T_c sprawność nie przekracza 1 − T_c/T_h; równość dotyczy cyklu odwracalnego. Bilans energii jest zatem koniecznym, ale nie jedynym sprawdzianem poprawności opisu silnika.

Silnik rozdziela energię, a nie zużywa ją do zera

Na schemacie 1200 J na wejściu rozdziela się na 900 J oddane chłodnicy i 300 J pracy. Energia nie znika: chłodnica także jest jej odbiornikiem. Sprawność 25% oznacza, że jedna czwarta energii pobranej od grzejnika staje się pracą netto. Nie znaczy, że pozostałe trzy czwarte przestały istnieć.

Bilans może się zgadzać, a propozycja nadal być niemożliwa

Dla grzejnika 600 K i chłodnicy 300 K granica Carnota wynosi 50%. Gdy ktoś proponuje cykl pobierający 1200 J, wykonujący 800 J pracy i oddający 400 J ciepła, pierwsza zasada się zgadza: 1200 = 800 + 400. Sprawność wynosi jednak 2/3, więcej niż 1/2. Taki silnik działający wyłącznie między podanymi zbiornikami przeczy drugiej zasadzie.

Temperatury w tej granicy muszą być bezwzględne. Idealny cykl odwracalny wyznacza górną granicę, a nie typowy wynik rzeczywistego urządzenia. Trzeba zatem osobno sprawdzić bilans energii, zakres procesu i ograniczenie sprawności. Sam poprawny procent nie opisuje jeszcze konstrukcji silnika.

Ta sama praca użyteczna, różne zapotrzebowanie na ciepło

Dotąd porównywaliśmy silniki przy jednakowym Qh. W praktyce można zadać odwrotne pytanie: ile ciepła potrzeba do uzyskania 1 kJ pracy netto? Dla sprawności 25% przekształcamy η = W/Qh i otrzymujemy Qh = W/η = 4 kJ. W cyklu do chłodnicy trafi więc 3 kJ. Energia oddana chłodnicy jest w tym bilansie większa od uzyskanej pracy.

Między zbiornikami 600 K i 300 K maksymalna sprawność wynosi 50%. Dla tej samej pracy 1 kJ nawet odwracalny silnik musiałby pobrać co najmniej 2 kJ i oddać co najmniej 1 kJ do chłodnicy. Słowo „co najmniej” dotyczy tutaj ustalonej pracy, dwóch podanych temperatur i pełnego cyklu. Nie mówi, że dowolny silnik osiągnie tę granicę.

Q_{h,\min}=\frac{W}{1-T_c/T_h},\qquad Q_{c,\min}=Q_{h,\min}-W.

Ułamek temperatur musi być bez jednostki, dlatego obie temperatury liczymy w kelwinach. Wyniki Q mają tę samą jednostkę co W. Gdy chłodnica staje się cieplejsza i zbliża się temperaturą do grzejnika, mianownik maleje: do tej samej pracy potrzeba coraz więcej ciepła. Przy jednakowych temperaturach nie uzyskamy dodatniej pracy w takim cyklu silnika.

Zestawienie Qh = 4 kJ, W = 1 kJ, Qc = 3 kJ z granicznym 2 kJ, 1 kJ, 1 kJ pokazuje, co rzeczywiście poprawia większa sprawność: mniejsze zapotrzebowanie na energię przy tej samej użytecznej pracy. Nie utożsamiajmy tego ze zwiększeniem mocy. Moc zależy także od czasu wykonania cyklu, którego te rachunki nie określają.

Zadania do tego tematu

• Pierwsza zasada — zadanie: sprężanie i oddawanie ciepła
• Silnik cieplny — zadanie: praca, sprawność i granica Carnota

Dalsza lektura

Materiał referencyjny