Opór właściwy, długość i przekrój przewodnika

Potrzebne wiadomości: Prawo Ohma, pole koła i zamiana mm² na m².

Skąd różny wpływ długości i grubości?

Podzielmy jednorodny drut na dwa jednakowe odcinki. Połączone jeden za drugim tworzą połączenie szeregowe, więc opory się dodają. Dwukrotna długość przy tym samym przekroju daje dwukrotny opór. Teraz połóżmy obok siebie dwa jednakowe druty i połączmy ich końce. Ładunek może przepływać dwiema równoległymi drogami. Pole przekroju podwaja się, a opór zastępczy maleje dwukrotnie. To wyjaśnienie zakłada jednakowy materiał, temperaturę i dobre połączenia.

Rezystywność opisuje materiał w danych warunkach, natomiast l/S opisuje kształt przewodnika. Dlatego po skróceniu drutu nie zmienia się automatycznie jego rezystywność. Zmienia się opór konkretnego odcinka. Można to rozpoznać również po jednostkach: Ω i Ω·m nie oznaczają tej samej wielkości.

Wpływ geometrii

Dla jednorodnego przewodnika o długości l i stałym polu przekroju S opór wynosi:

R=\rho_e\frac{l}{S}.

ρ_e oznacza opór właściwy, czyli rezystywność, mierzoną w Ω·m. Indeks e pozwala odróżnić tę wielkość od gęstości masy, często również oznaczanej literą ρ. Wartości rezystywności dotyczą określonej temperatury i stanu materiału.

Dłuższy przewód ma większy opór. Większe pole przekroju zmniejsza opór. Dla przewodu o okrągłym przekroju S = πd²/4, więc dwukrotnie większa średnica oznacza czterokrotnie mniejszy opór przy niezmienionej długości i rezystywności. Powyższy wzór zakłada jednorodny przekrój i warunki, w których można pominąć dodatkowe opory połączeń.

Przelicznik pola warto wyprowadzić

Kwadrat o boku 1 mm ma bok 0,001 m. Jego pole wynosi (0,001 m)² = 0,000001 m². Nie wystarczy przesunąć przecinka o trzy miejsca tak jak przy długości. Jeżeli w zadaniu podano średnicę, najpierw obliczamy pole koła. Dla średnicy d = 1 mm jest ono równe π/4 mm², czyli około 0,785 mm²; średnica 1 mm nie oznacza przekroju 1 mm².

Przykład

Przewód ma długość 10 m, pole przekroju 1 mm² i rezystywność 1,7 · 10⁻⁸ Ω·m. Po zamianie S = 10⁻⁶ m² otrzymujemy R = 0,17 Ω. Gdyby tor prądu obejmował dwa takie odcinki — doprowadzający i powrotny — należałoby uwzględnić łącznie 20 m przewodu.

Rozciągnięcie to dwie zmiany naraz

Oznaczmy stosunek nowych i starych długości przez k. Zachowanie objętości daje l₂ = kl₁ i S₂ = S₁/k. Po podstawieniu do wzoru na opór:

R_2=\rho_e\frac{kl_1}{S_1/k}=k^2R_1.

Dla k = 2 otrzymujemy cztery razy większy opór. Średnica nie maleje jednak dwukrotnie. Ponieważ pole koła zależy od kwadratu średnicy, d₂ = d₁/√2. Rozróżnienie średnicy i pola chroni przed kolejnym, tym razem czterokrotnym błędem.

Ta sama długość nie wystarcza do porównania

Mamy drut o oporze 2 Ω. Jeśli z tego samego materiału dobierzemy trzykrotnie dłuższy odcinek o tym samym przekroju, jego opór wyniesie 6 Ω. Jeżeli natomiast rozciągniemy pierwotny drut do trzykrotnej długości przy stałej objętości i rezystywności, otrzymamy 18 Ω. W drugim przypadku przekrój zmalał trzykrotnie: 2 Ω · 3 · 3 = 18 Ω. Sformułowania „dłuższy przewód” i „rozciągnięty ten sam przewód” nie określają tego samego doświadczenia.

Rozciąganie i temperatura

Przy rozciąganiu drutu może się zmienić zarówno długość, jak i pole przekroju. Jeżeli objętość materiału pozostaje stała, to Sl = const. Dwukrotne wydłużenie oznacza wtedy dwukrotne zmniejszenie pola. W idealizacji ze stałą rezystywnością opór wzrośnie czterokrotnie, a nie dwukrotnie.

W niewielkim zakresie temperatur opór wielu metali można przybliżyć zależnością R = R₀[1 + α(T − T₀)]. α jest temperaturowym współczynnikiem oporu i ma jednostkę 1/K. Nie jest to uniwersalne prawo dla wszystkich materiałów i dowolnie dużych zmian temperatury.

Sprawdzając jednostki we wzorze R = ρ_el/S, otrzymujemy Ω·m · m/m² = Ω. Zamiana 1 mm² na 0,001 m² zamiast 0,000001 m² jest jednym z typowych źródeł błędu. W polu przekroju przelicznik długości także trzeba podnieść do kwadratu.

A jeśli przekrój nie jest wszędzie taki sam?

Nie zastępujmy automatycznie dwóch różnych przekrojów ich średnią. Weźmy połączone szeregowo odcinki tego samego materiału o rezystywności 1,7 · 10⁻⁸ Ω·m: pierwszy ma 10 m i 1 mm², drugi 10 m i 0,50 mm². Pomijamy opór styku i zmianę temperatury. Pierwszy ma opór 0,17 Ω, drugi 0,34 Ω. Płynie przez nie ten sam prąd, a spadki napięcia się dodają, zatem cały przewód ma 0,51 Ω.

Dla kontrolnego prądu 2 A otrzymujemy spadki 0,34 V i 0,68 V, razem 1,02 V. Moc wydzielana w odcinkach wynosi odpowiednio 0,68 W i 1,36 W. Cieńsza część wydziela tu dwukrotnie więcej energii na sekundę, mimo że oba odcinki mają tę samą długość i przenoszą ten sam prąd.

Wstawienie całych 20 m i średniego pola 0,75 mm² dałoby około 0,453 Ω, czyli błędnie zaniżony opór. W szeregu uśrednia się z odpowiednimi wagami odwrotność pola, bo to ona występuje we wzorze na każdy składnik:

R=\rho_e\left(\frac{l_1}{S_1}+\frac{l_2}{S_2}\right).

Dla równych długości można zdefiniować takie pole zastępcze, które daje poprawny opór: 2/(1/1 + 1/0,50) mm² = 2/3 mm². Nie jest to twierdzenie, że rzeczywisty przewód wszędzie ma taki przekrój; to parametr równoważnego, jednorodnego odcinka.

Zadania do tego tematu

• Opór przewodu — zadanie: pole przekroju w mm²
• Opór przewodu — zadanie: rozciąganie przy stałej objętości

Dalsza lektura

Materiał referencyjny