Opór przewodu — zadanie: rozciąganie przy stałej objętości

Rozwiązanie

Porównanie dwóch stanów tego samego drutu

Nie znamy rezystywności, początkowej długości ani przekroju — i nie musimy ich zgadywać. Pytanie dotyczy zmiany oporu przy znanych stosunkach wielkości. Zapiszmy R₁ = ρ_el₁/S₁ oraz R₂ = ρ_el₂/S₂. Przy dzieleniu tych zależności wspólna rezystywność się skróci.

Stała objętość jest drugą informacją, niezależną od dwukrotnego wydłużenia. To ona określa, o ile drut staje się cieńszy.

Obliczenia i odpowiedź

Z zachowania objętości S₁l₁ = S₂l₂ i warunku l₂ = 2l₁ otrzymujemy S₂ = S₁/2. Porównujemy opory, dzięki czemu nie potrzebujemy liczbowej rezystywności:

\frac{R_2}{R_1}=\frac{l_2}{l_1}\frac{S_1}{S_2}=2\cdot2=4.

Zatem R₂ = 4 · 6 = 24 Ω.

Odpowiedź: 24 Ω.

Wzrost jest czterokrotny, bo jednocześnie zwiększyła się długość i zmniejszył przekrój. W rzeczywistym drucie odkształcenie może zmienić własności materiału; zadanie wyraźnie pomija ten efekt. Wynik 12 Ω odpowiadałby wydłużeniu przy stałym przekroju, a więc innym założeniom.

Odróżnij pole od średnicy

Przekrój zmalał do połowy. Gdyby był kołowy, średnica zmalałaby tylko do 1/√2 wartości początkowej. Zmniejszenie średnicy do połowy dałoby pole czterokrotnie mniejsze i nie zachowałoby objętości przy zaledwie dwukrotnym wydłużeniu. To pokazuje, dlaczego wygodnie prowadzić rachunek najpierw z S, a dopiero później ewentualnie przejść do średnicy.

Sprawdzenie przez zmianę długości w drugą stronę

Wykres pozwala odwrócić pytanie. Gdyby końcowy opór wyniósł 54 Ω, stosunek oporów byłby 9. W tym modelu długość zwiększyłaby się więc trzykrotnie, a nie dziewięciokrotnie. Pole zmalałoby do jednej trzeciej i średnica do 1/√3 wartości początkowej.

Dla właściwego zadania R wzrosło czterokrotnie. Przy tym samym napięciu prąd i moc elektryczna zmalałyby czterokrotnie. Przy tym samym prądzie potrzebne napięcie i moc wzrosłyby czterokrotnie. Samo stwierdzenie „drut będzie się mocniej grzał” nie wynika więc wyłącznie ze zmiany oporu — trzeba jeszcze określić sposób zasilania.

Powiązana teoria

Opór właściwy, długość i przekrój przewodnika

Dalsza lektura

Materiał referencyjny