DFT w pomiarach: prążki widma, przeciek i okno Hanna

Potrzebne wiadomości: Sinusoidy i ich fazy, suma skończonego ciągu geometrycznego, podstawy liczb zespolonych. Zapis wykładniczy oraz normalizacja DFT są przypomniane w tekście.

Najpierw ustalamy próbki, czas i normalizację

Mamy N rzeczywistych próbek x[n] = x(nΔt), n = 0, …, N − 1, z jednakowym odstępem Δt. Częstotliwość próbkowania wynosi f_s = 1/Δt. DFT opisuje ten skończony wektor przez N liczb zespolonych. Przyjmujemy znak minus w transformacie i czynnik 1/N w odwrotnej:

X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N},\qquad k=0,\ldots,N-1,

x[n]=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi kn/N},\qquad j^2=-1.

Zależność e^jθ = cos θ + j sin θ oznacza, że część rzeczywista i urojona kodują dwie składowe o przesunięciu 90°. DFT jest dokładnym, odwracalnym przekształceniem tych N liczb, z dokładnością do błędów numerycznych obliczeń. Nie dowodzi, że analogowy sygnał pomiędzy próbkami został rozpoznany jednoznacznie.

Prążki DFT leżą co Δf = f_s/N = 1/T_rek, gdzie T_rek = NΔt jest okresem przedłużenia rekordu używanego przez DFT. Pierwsza i ostatnia próbka dzieli tylko (N − 1)Δt. Brakującego punktu przy NΔt nie dopisujemy jako kolejnej kopii próbki zerowej: zdublowałoby to koniec cyklu i zmieniło N. Rozróżnienie tych dwóch czasów zapobiega błędnemu skalowaniu osi częstotliwości.

Amplituda, częstotliwości ujemne i dwa wyjątki

Dla rzeczywistych danych X[N − k] = X[k]*, gdzie gwiazdka oznacza sprzężenie zespolone. Prążki po obu stronach są parą opisującą jedną rzeczywistą sinusoidę. Indeks k > N/2 możemy odczytać jako częstotliwość (k − N)f_s/N. Jeśli izolowana sinusoida trafia dokładnie w prążek 0 < k < N/2 i stosujemy okno prostokątne, jej amplituda wynosi 2|X[k]|/N.

Składowa stała to X[0]/N ze znakiem, a jej moduł w widmie amplitudowym to |X[0]|/N. Dla parzystego N prążek Nyquista k = N/2 także nie jest podwajany: amplituda naprzemiennej składowej próbek wynosi |X[N/2]|/N. W obu przypadkach „partner” jest tym samym prążkiem. Dla nieparzystego N osobnego prążka dokładnie przy f_s/2 nie ma.

Przy częstotliwości Nyquista pojedynczy współczynnik opisuje tylko naprzemienny ciąg próbek. Nie wystarcza do odzyskania dowolnej amplitudy i fazy analogowej sinusoidy; kontrprzykład pojawi się w lekcji o próbkowaniu. Poza prążkami wzór 2|X[k]|/N nie jest automatycznie estymatorem amplitudy pojedynczego rzeczywistego tonu.

Dlaczego sinusoida „rozlewa się” na sąsiednie prążki?

Załóżmy na chwilę zespolony sygnał z[n] = exp(j2παn/N). Liczba α oznacza liczbę cykli w rekordzie. W prążku k pojawia się suma geometryczna o różnicy δ = α − k:

Z[k]=\frac{1-e^{j2\pi\delta}}{1-e^{j2\pi\delta/N}},\qquad |Z[k]|=\left|\frac{\sin(\pi\delta)}{\sin(\pi\delta/N)}\right|.

Gdy δ jest zerem lub całkowitą wielokrotnością N, iloraz rozumiemy przez granicę: suma wynosi N. Gdy α jest całkowite, pozostałe prążki znikają. Dla niecałkowitego α wiele prążków jest niezerowych. Rzeczywisty kosinus jest połową sumy dwóch takich przebiegów o przeciwnych częstotliwościach; ich zespolone wkłady trzeba dodać przed obliczeniem modułu.

Nazywamy to przeciekiem widma. Prążki nie muszą odpowiadać nowym drganiom fizycznym czujnika. Skończona obserwacja mnoży przebieg przez okno czasu, a jego okresowe przedłużenie może mieć sztuczne nieciągłości na granicy rekordów. DFT nadal poprawnie opisuje zebrany wektor. Błędem byłoby bez sprawdzenia utożsamić każdy niezerowy prążek z osobnym źródłem drgań.

Okno Hanna: mniejszy przeciek daleko od tonu i szerszy wierzchołek

Możemy osłabić brzegi rekordu, mnożąc próbki przez znane wagi. Użyjemy okresowej wersji okna Hanna, z mianownikiem N:

w[n]=\frac12-\frac12\cos\frac{2\pi n}{N},\qquad Y[k]=\sum_{n=0}^{N-1}w[n]x[n]e^{-j2\pi kn/N}.

Dla N > 1 suma wag wynosi N/2. Wersja symetryczna z N − 1 w mianowniku ma inną sumę i inne własności końców; nie mieszamy jej z podaną formułą. Dla izolowanej sinusoidy trafiającej w wewnętrzny prążek okresowego okna Hanna poprawkę amplitudy zapisujemy jako 2|Y[k]|/Σw. Na skrajach widma i dla częstotliwości pomiędzy prążkami trzeba osobno uwzględnić nakładanie składowych oraz błąd odczytu poza maksimum.

Okno Hanna zmniejsza dalekie listki boczne, ale poszerza listek główny. Silny ton mniej zasłania odległy słaby ton, natomiast bardzo bliskie tony mogą być trudniejsze do rozdzielenia. Nie ma okna, które poprawia wszystkie kryteria naraz. Korekcja sumą wag dotyczy amplitudy spójnego tonu; normalizacja widmowej gęstości mocy szumu wymaga sumy kwadratów wag i uwzględnienia szerokości pasma.

Dłuższy pomiar a dopisywanie zer

Jeśli zwiększamy N przez rzeczywiste zbieranie kolejnych próbek przy tym samym f_s, wydłużamy obserwację. Prążki zagęszczają się i zwęża się charakterystyczna szerokość widma okna w hercach. To może pomóc rozdzielić bliskie częstotliwości, o ile sygnał w czasie pomiaru nie zmienia swoich parametrów.

Jeśli natomiast do istniejących N próbek dopiszemy zera i obliczymy dłuższą DFT, nie uzyskujemy żadnych nowych pomiarów. Odczytujemy ten sam ciągły przebieg widma skończonego rekordu na gęstszej siatce. Wierzchołek można łatwiej zlokalizować, ale nie zwęża się listek główny narzucony rzeczywistym czasem obserwacji. Skalując amplitudę, używamy liczby rzeczywistych próbek lub sumy rzeczywistych wag, a nie liczby próbek po dopisaniu zer.

Odstęp Δf jest odstępem siatki, nie uniwersalnym progiem rozdzielczości. Rozróżnianie dwóch tonów zależy także od okna, stosunku amplitud, szumu i metody estymacji. Dopasowanie znanego modelu dwóch sinusoid to inne zadanie niż odczyt dwóch maksimów zwykłego widma. FFT jest szybszym algorytmem obliczenia tej samej DFT; samo użycie FFT nie dodaje informacji.

Zadania do tego tematu

• Osiem próbek: skąd bierze się czynnik dwa w widmie?
• Dwa bliskie tony: dłuższy pomiar czy dopisanie zer?
• Okno Hanna i ton dokładnie pomiędzy prążkami

Dalsza lektura

Materiał referencyjny