Próbkowanie i aliasing: jakie częstotliwości naprawdę mierzymy?

Potrzebne wiadomości: Częstotliwość i faza sinusoidy, okresowe własności sinusa i kosinusa, podstawowa interpretacja widma oraz amplitudowej charakterystyki filtru.

Próbki nie pokazują całej funkcji czasu

Próbkujemy w chwilach tₙ = n/f_s. Zakładamy idealny zegar, równy odstęp czasu i brak błędu kwantowania amplitudy, aby oddzielić samo próbkowanie od innych ograniczeń przyrządu. Dla x(t) = A cos(2πft + φ) zapis ma postać x[n] = A cos(2πfn/f_s + φ).

Jeśli do f dodamy całkowitą wielokrotność f_s, argument zwiększy się o 2πkn. Dla całkowitych k i n nie zmieni to kosinusa. Co więcej, kosinus jest parzysty, więc odbicie częstotliwości względem wielokrotności f_s może dać te same próbki przy odwróconej fazie:

\cos\left(2\pi\frac{(f_s-f)n}{f_s}+\varphi\right)=\cos\left(2\pi\frac{fn}{f_s}-\varphi\right).

Nierozróżnialność takich częstotliwości w dyskretnym zapisie nazywamy aliasingiem. Nie jest to tylko źle podpisana oś wykresu. Dwa różne analogowe przebiegi dostarczają dokładnie tych samych liczb. Żaden algorytm korzystający wyłącznie z tych liczb nie zdecyduje, który z nich wystąpił, bez dodatkowej informacji o sygnale lub torze pomiarowym.

Jak znaleźć częstotliwość aliasu?

Dla rzeczywistej sinusoidy odejmujemy od f taką wielokrotność f_s, aby otrzymać częstotliwość podpisaną w przedziale od −f_s/2 do +f_s/2. Moduł tej liczby jest częstotliwością w jednostronnym widmie. Jeśli pojawił się znak minus, trzeba odpowiednio przeliczyć fazę. Same amplitudy nie zapisują tej informacji.

Przykładowo 80 Hz przy f_s = 100 Hz odpowiada −20 Hz, czyli 20 Hz z odwróconą fazą kosinusową. Wzór |f − f_s| działa dla tego przykładu, lecz nie dla dowolnie dużego f; czasem trzeba odjąć kilka wielokrotności. Częstotliwości 20, 80, 120 i 180 Hz mogą dawać tę samą serię próbek przy odpowiednio dobranych fazach.

Twierdzenie o próbkowaniu wymaga ograniczonego pasma

W standardowym przypadku dolnopasmowym zakładamy, że analogowy sygnał nie zawiera składowych powyżej B, oraz przyjmujemy f_s > 2B. Przy idealnych próbkach dostępnych dla wszystkich całkowitych n możliwa jest jednoznaczna rekonstrukcja sygnału z takim ograniczeniem pasma. Połowa f_s to częstotliwość Nyquista. Warunek dotyczy całego pasma na wejściu próbnika, włącznie z zakłóceniami, a nie tylko tonu, który chcemy zmierzyć.

Dla idealnego ograniczenia pasma poniżej f_s/2 rekonstrukcję opisuje interpolacja sinc:

x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\,\operatorname{sinc}(f_st-n),\qquad \operatorname{sinc}(z)=\frac{\sin(\pi z)}{\pi z},\quad \operatorname{sinc}(0)=1.

Przy t = m/f_s wszystkie składniki poza n = m mają argument będący niezerową liczbą całkowitą i znikają. Funkcja przechodzi więc przez próbki. Twierdzenie mówi dodatkowo, kiedy jest to właściwy ograniczony pasmowo przebieg. Łączenie punktów odcinkami nie jest tą idealną rekonstrukcją. W skończonym, zaszumionym rekordzie nie znamy wszystkich próbek z nieskończonej sumy, więc pozostają błędy brzegowe i zależność od przyjętego modelu.

Dokładnie dwie próbki na okres mogą nie wykryć żadnego drgania

Weźmy x(t) = A sin(2πft + φ) i f = f_s/2. Wtedy:

x[n]=A\sin(\pi n+\varphi)=(-1)^nA\sin\varphi.

Dla φ = 0 wszystkie próbki są zerowe, niezależnie od A. Dla φ = π/2 dostajemy naprzemiennie +A i −A. Z dowolnej fazy pozostaje jedynie iloczyn A sin φ; nie da się rozdzielić nieznanej amplitudy od fazy. Dlatego praktyczne zdanie „co najmniej dwie próbki wystarczą” jest niebezpiecznie nieprecyzyjne. Bezpiecznie formułujemy ścisłe f_s > 2B i pozostawiamy zapas na pasmo przejściowe filtru.

Znana z góry faza pojedynczego tonu może zmienić zadanie estymacji, lecz jest dodatkowym założeniem. Nie uzasadnia ogólnej rekonstrukcji dowolnego sygnału na granicy Nyquista. Istnieją również specjalne metody próbkowania sygnałów pasmowych; tutaj rozpatrujemy zwykły tor dolnopasmowy.

Filtr antyaliasingowy musi działać przed próbkowaniem

Rzeczywiste sygnały i szum nie kończą się idealnie na częstotliwości B. Przed przetwornikiem analogowo-cyfrowym stosuje się więc filtr analogowy, który ogranicza składowe mogące złożyć się do pasma użytecznego. Dobór wymaga dwóch liczb: dopuszczalnego osłabienia sygnału i wymaganego tłumienia zakłóceń. Sama wartość f_s nie wyznacza potrzebnego filtru.

Przykładowy model amplitudowy dolnoprzepustowego filtru Butterwortha rzędu m ma postać:

|H(f)|=\frac1{\sqrt{1+(f/f_g)^{2m}}},\qquad m=1,2,\ldots

Przy f = f_g amplituda spada do 1/√2 wartości wejściowej. Dla m = 1 jest to charakterystyka nieobciążonego filtru RC. Wzór opisuje model odpowiedzi amplitudowej, nie kompletny projekt fizycznego układu. Rzeczywista realizacja wymaga również sprawdzenia fazy, obciążenia, tolerancji i zakresu liniowego. W zadaniu porównamy wymagania matematyczne bez przypisywania ich dowolnemu zestawowi elementów.

Filtr cyfrowy działający po próbkowaniu może osłabić wybrany prążek, lecz nie rozdzieli dwóch analogowych źródeł, które złożyły się w ten sam prążek. Jeśli 900 Hz przy próbkowaniu 1000 Hz udaje 100 Hz, cyfrowe usunięcie 100 Hz usunie także ewentualną prawdziwą składową 100 Hz. Gdy z góry wiemy, że cały użyteczny sygnał ma tylko 50 Hz, taka filtracja może pomóc; nadal nie dowodzi, że wcześniejszy pomiar nie doznał aliasingu.

Co kontrolować w doświadczeniu?

Sprawdź pasmo czujnika i filtru przed przetwornikiem, częstotliwość próbkowania oraz rzeczywisty czas obserwacji. Zmiana f_s może przesunąć alias, podczas gdy częstotliwość prawdziwego wolnego tonu pozostanie taka sama; jest to użyteczna próba kontrolna, ale wymaga uwzględnienia zmian toru pomiarowego. Błąd zegara, nasycenie czujnika i kwantowanie są oddzielnymi problemami. Ich obecność nie znosi równości próbek wyprowadzonej dla idealnego aliasingu.

Zadania do tego tematu

• Siedemset herców odczytane jako trzysta: co dzieje się z fazą?
• Dwie próbki na okres i niewidzialna sinusoida
• Czy pojedynczy filtr RC wystarczy przed próbnikiem?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny