Okno Hanna i ton dokładnie pomiędzy prążkami

Rozwiązanie

1. Ustalamy, co oznaczają prążki

Odstęp siatki wynosi 320/32 = 10 Hz. Ton 45 Hz leży pośrodku między k = 4 i k = 5. W każdym z tych prążków dodajemy 32 zespolone wkłady; nie wybieramy tylko próbki o największej wartości. Dla przykładu:

X[4]=\sum_{n=0}^{31}\cos(2\pi\cdot4{,}5n/32)e^{-j2\pi\cdot4n/32}\,\mathrm{V}.

Bezpośrednie sumowanie daje 2|X[4]|/32 ≈ 0,61099 V i 2|X[5]|/32 ≈ 0,66224 V. Nierówność tych wartości wynika z zespolonego nakładania obu składowych rzeczywistego kosinusa oraz fazy początku rekordu; nie wskazuje dwóch fizycznych tonów.

2. Stosujemy wagi i ich własną normalizację

Suma wag wynosi 16, więc stosujemy 2|Y|/16. Otrzymujemy około 0,84933 V przy 40 Hz i 0,84848 V przy 50 Hz. Gdyby po nałożeniu okna nadal dzielić przez 32, wyniki byłyby dwa razy za małe.

Mimo poprawki żaden prążek nie osiąga 1 V. Korekcja wzmocnienia okna nie przenosi siatki na częstotliwość 45 Hz i nie usuwa błędu odczytu tonu między prążkami. Nie należy też sumować tych dwóch wysokości: widmo obejmuje kilka wzajemnie związanych zespolonych próbek jednego listka.

3. Zbieramy dłuższy rekord

Przy N = 64 czas rekordu wynosi 0,200 s, a odstęp siatki 5 Hz. Ton 45 Hz trafia dokładnie w k = 9. W idealnym oknie prostokątnym ma wtedy 2|X[9]|/64 = 1,000 V. Wynik pochodzi z kolejnych rzeczywistych próbek; nie ze sztucznego dopisania zer do pierwszych 32.

Wynik: okno prostokątne: 0,61099 i 0,66224 V; Hanna: 0,84933 i 0,84848 V. Dla 64 rzeczywistych próbek amplituda w prążku 45 Hz wynosi 1,000 V. Okno zmienia kompromis przecieku i szerokości listka, nie rozpoznaje automatycznie prawdziwej amplitudy.

Powiązana teoria

DFT w pomiarach: prążki widma, przeciek i okno Hanna

Dalsza lektura

Materiał referencyjny