Dwa bliskie tony: dłuższy pomiar czy dopisanie zer?

Rozwiązanie

1. Porównujemy rzeczywisty czas obserwacji

Dla 250 próbek okres rekordu wynosi 0,250 s, a Δf = 4 Hz. Ton 50 Hz leży przy k = 12,5, pomiędzy prążkami; ton 52 Hz przy k = 13. Pierwszy ton przecieka więc także do prążka drugiego. Bezpośrednia suma DFT daje jednostronne wartości około 0,62408 V przy 48 Hz oraz 0,88906 V przy 52 Hz. Ta druga liczba nie jest samą amplitudą tonu 52 Hz, która wynosi 0,600 V.

2. Dłuższy rekord zbiera nowe informacje

Dla 2000 rzeczywistych próbek T_rek = 2,000 s i Δf = 0,500 Hz. Oba tony trafiają w prążki: k₁ = 100 i k₂ = 104. W tym idealnym przykładzie bez szumu i zmian częstotliwości okno zawiera odpowiednio 100 i 104 pełne cykle, więc ortogonalność daje dokładnie amplitudy 1,00 V i 0,600 V. Są rozdzielone czterema odstępami siatki.

Nie wyciągamy z tego uniwersalnej granicy „cztery prążki zawsze wystarczą”. Zmiana okna, szum, słabszy drugi ton lub dryf częstotliwości mogą zmienić możliwość ich wykrycia.

3. Zera zagęszczają odczyt tego samego widma

Po dopisaniu zer długość transformacji wynosi 2000, więc jej siatka też ma 0,500 Hz. Jednak nie obserwowaliśmy sygnału przez 2 s: obserwacja nadal trwała jeden rekord 0,250 s. Przeliczenie amplitudy wymaga 2|X|/250 dla wewnętrznych prążków, a nie 2|X|/2000. W częstotliwościach 48 i 52 Hz otrzymamy te same 0,62408 i 0,88906 V co wcześniej.

Dodatkowe punkty pokazują kształt między dawnymi prążkami, lecz nie zwężają widma okna. Gęsta siatka sama nie gwarantuje dwóch oddzielnych maksimów. Estymacja częstotliwości przez dopasowanie znanego modelu to osobna metoda, oparta na dodatkowych założeniach.

Wynik: rzeczywiste rekordy mają 0,250 s i 2,000 s oraz Δf = 4 Hz i 0,500 Hz. Dopisanie zer daje drugą siatkę przy pierwszym czasie obserwacji; nie zastępuje siedmiu dodatkowych części pomiaru.

Powiązana teoria

DFT w pomiarach: prążki widma, przeciek i okno Hanna

Dalsza lektura

Materiał referencyjny