Osiem próbek: skąd bierze się czynnik dwa w widmie?

Rozwiązanie

1. Rozpoznajemy trzy składowe zespolone

Po rozwinięciu kosinusa mamy x[n] = [1 + exp(j2πn/8) + exp(−j2πn/8)] V. Ortogonalność ośmiopunktowej bazy daje X[0] = 8 V, X[1] = 8 V, X[7] = 8 V. Pozostałe prążki są zerowe. Jednostka sumy pozostaje woltem; liczba składników N jest bezwymiarowa.

2. Skalujemy częstotliwość i amplitudę

Odstęp siatki wynosi 80/8 = 10 Hz. Indeks 1 oznacza +10 Hz, a 7 tę samą składową w zapisie częstotliwości ujemnej −10 Hz. Średnia wynosi X[0]/N = 1 V. Amplituda sinusoidy wynosi 2|X[1]|/N = 2 V, ponieważ łączymy dwa prążki sprzężone. Prążek k = 4 przy 40 Hz jest zerowy i nie byłby podwajany.

Odstęp próbek to Δt = 1/80 s = 12,5 ms. Skrajne próbki dzieli 7Δt = 87,5 ms, natomiast okres rekordu DFT to 8Δt = 100 ms. Zastosowanie 1/87,5 ms jako odstępu prążków błędnie przesunęłoby całą oś widma.

3. Odtwarzamy wartości bez utraty informacji

x[n]=\frac18\left(8+8e^{j2\pi n/8}+8e^{-j2\pi n/8}\right)\,\mathrm{V}.

Dla n = 0 dostajemy 3 V; dla n = 2 dwa wykładniki dają j i −j, więc wynik to 1 V; dla n = 4 oba są równe −1, więc x[4] = −1 V. Rekonstrukcja zgadza się z wejściem.

Wynik: X[0] = X[1] = X[7] = 8 V; średnia 1 V i amplituda 2 V przy 10 Hz. Rozpiętość chwil próbek 87,5 ms, okres rekordu 100 ms. Podwojenie DC dałoby fałszywą średnią 2 V.

Powiązana teoria

DFT w pomiarach: prążki widma, przeciek i okno Hanna

Dalsza lektura

Materiał referencyjny